Читать онлайн «События и люди. Издание пятое, исправленное и дополненное.». Страница 86

в которых кроме внешних источников pext и jext фигурируют индуцированные в плазме источники:

Здесь так же, как и выше, суммирование ведется по всем сортам заряженных частиц.

Что же касается (не выписанного) столкновительного члена в уравнении (9), то А. А. Власовым он считался малым и принимался в форме Ландау (5). Однако, оставаясь в рамках приближения Больцмана, обрезание взаимодействия, по его мнению, следовало делать не на дебаевском радиусе, а на длине порядка среднего расстояния между электронами. Поэтому кулоновский логарифм L в теории Власова принимался в η-1 раза меньшим, чем (6). Это, на первый взгляд, несущественное отличие в действительности является принципиальным. Здесь надо отдать должное физическому чутью Ландау, который в этом моменте оказался полностью прав. Строго это, однако, было доказано лишь в конце 1950-х годов А. Ленардом и Р. Балеску, получившими интеграл парных столкновений с учетом поляризации плазмы и обосновавшими обрезание взаимодействия на дебаевском радиусе (см. учебник [7]). Последовательный же вывод уравнения (9) методом разложения по параметру (4) был дан, как уже отмечалось выше, в монографии Н. Н. Боголюбова [4]. Систему уравнений (9) — (11) в пренебрежении парными столкновениями в литературе принято называть системой уравнений Власова-Максвелла, а само кинетическое уравнение (9) — уравнением Власова. Часто последнее еще называют кинетическим уравнением для бесстолкновительной плазмы. Такое название, однако, следует считать неудачным, поскольку уравнение (9) даже без учета правой части учитывает дальние столкновения, а точнее — взаимодействие частиц посредством самосогласованных полей[51].

А. А. Власов на основе приведенной системы уравнений в пренебрежении парными столкновениями исследовал малые линейные колебания плазмы в отсутствие внешних источников и внешних полей. При это он показал, что в такой изотропной плазме существуют чисто продольные (в которых Е = —Ф) и чисто поперечные (в которых divE = 0) волны, и получил для них в общем виде дисперсионные соотношения, связывающие частоту и и волновой вектор k для возмущения вида exp(—iωt + ikr). Здесь приведем результаты анализа только чисто электронных продольных колебаний, поскольку именно они перекликаются с результатами работ Л. Д. Ландау.

Проведенный А. А. Власовым анализ дисперсионного уравнения для малых продольных колебаний изотропной электронной плазмы с максвелловской равновесной функцией распределения по скоростям показал, что в пренебрежении парными столкновениями частиц в области фазовых скоростей, превышающих тепловую скорость электронов, такие колебания не затухают и обладают следующим законом дисперсии:

где и ωp — известная со времен И. Ленгмюра плазменная (электронная ленгмюровская) частота, а  — тепловая скорость электронов. Наличие спектра высокочастотных электронных колебаний с малой групповой скоростью

хорошо согласовывалось с известными экспериментальными результатами И. Легмюра и Л. Тонкса [8]. Подтверждением правильности теории А. А. Власова следует считать также то, что медленные продольные колебания в чисто электронной плазме оказались невозможными. Именно, в области vφ = ω/k << vTe поле таких колебаний экранируется, причем размер экранировки определяется дебаевским радиусом, что согласуется с глубиной дебаевской экранировки поля статического заряда в плазме (7), полученной Л. Д. Ландау из чисто термодинамических соображений[52].

Вместе с тем вызывало некоторую неудовлетворенность отсутствие затухания колебаний, хотя в приближении самосогласованного поля взаимодействие частиц учитывалось. Сам А. А. Власов в этом ничего плохого не видел. Более того, парную столкновительную релаксацию, которая, согласно теории Л. Д. Ландау, определяется частотой электрон-ионных столкновений

он считал пренебрежимо малой, поскольку

Более существенным А. А. Власову представлялось дисперсионное расплывание. Оценивая исходя из формулы (12) время расплывания τg неоднородности с размером 1/k, находим, что

т. е. это время велико по сравнению с периодом колебаний. Причем роль столкновений определяется величиной νeffτg, которая есть произведение малого параметра (15) на большой параметр (16).

4. В [2] Л. Д. Ландау резко отрицательно отреагировал на отсутствие в теории А. А. Власова диссипации малых колебаний при пренебрежении парными столкновениями. Считая уравнение Власова применимым для описания электронных колебаний плазмы, он тем не менее писал: «Власов искал решения вида exp(—iωt + ikr) и определял зависимость частоты ω от волнового вектора k. В действительности вообще не существует никакой определенной зависимости ω от k, и при заданном значении k возможны произвольные ω». Решая, как и А. А. Власов, начальную задачу для малых колебаний, Л. Д. Ландау приходит к тому же дисперсионному уравнению[53]

которое исследовалось А. А. Власовым. Здесь f0(v) — равновесная функция распределения по скоростям, которая считается максвелловской и нормированной на плотность электронов n:

В уравнении (17) фигурирует несобственный интеграл Коши с полюсом подынтегрального выражения на действительной оси интегрирования при v = ω/k. Именно в понимании этого интеграла и возникло разночтение между А. А. Власовым и Л. Д. Ландау. А. А. Власов считал, что интеграл надо брать в смысле главного значения, и как результат получил решение уравнения (16) в виде незатухающих колебаний со спектром (12). Л. Д. Ландау же указал, что интеграл надо брать по контуру (правило обхода Ландау), соответствующему представлению полюса в виде

где P означает интеграл в смысле главного значения. Это приводит к появлению у частоты малой мнимой поправки (ω → ω + γ)

описывающей слабое затухание колебаний со спектром (12). Это затухание и стало впоследствии именоваться как «бесстолкновительное» затухание Ландау. Слово «бесстолкновительное» мы поместили в кавычки, поскольку в действительности уравнение Власова многочастичные (или коллективные) столкновения частиц учитывает; оно не учитывает лишь ближние парные взаимодействия. Для учета парных взаимодействий, как мы уже знаем, надо дополнить уравнение Власова в правой его части интегралом столкновений. Учет парных столкновений приведет к дополнительному затуханию δγ, причем