Читать онлайн «7. Физика сплошных сред». Страница 53

Воспользовавшись величинами uхи uy. можно получить выра­жение для энергии

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U0, получаем

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и y-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна

Упругие постоянные связаны с плотностью энергии w урав­нением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с од­ним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пру­жинкой, должно приходиться по 1/2 ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/a3 атомов, то w и U0связаны соотношением

w=U0/2a3.

2а3

Чтобы найти упругие постоянные Cijkl, нужно только воз­вести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), приба­вить (39.46) и сравнить коэффициенты при еijеklссоответствую­щими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с е2xxи е2yy , мы находим, что множитель при нем равен

поэтому

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения еххеyyот еyyехх, то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при еххеyyв урав­нении (39.45) равен 2k2, так что получаем

Однако из-за симметрии выражения для энергии при пере­становке двух первых значений с двумя последними можно считать, что Скхуу=Суухх, поэтому

Таким же способом можно получить

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопиче­ские упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных k1 и k2. В нашем частном случае Cхуxу=Cххуу.Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соеди­няющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для не­которых кубических кристаллов. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что Сxxyy , вообще говоря, не равно Сxyxy . При­чина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяю­щей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе — это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направ­ленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, распо­ложенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в на­шей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные Сxxyyи Сxyxy у них почти равны.

Таблица 39.2 · упругие постоянные

КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ

Только хлористое серебро почему-то не хочет подчиняться условию Сххуу=Cxyxy..

* В литературе вы часто столкнетесь с другими обозначениями. Так, многие пишут:

* Пластик с мудреным названием «поливинилиденхлорид», применяе­мый для обертки.— Прим. ред.

* Предположим на минуту, что полный угол сдвига q делится на две равные части, чтобы деформация была симметричной относительно осей x и y.

Литература: Ch. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 2nd ed., New York, 1956. (Имеется пере­вод: Ч. Киттель, Введение в физику твердого тела, Физматгиз, М., 1962.)

§ 1. Гидростатика

§ 2. Уравнение движения

§ 3. Стационарный поток; теорема Бернулли

§ 4. Циркуляция

§ 5. Вихревые линии

§ 1. Гидростатика

Кого не пленяет течение жидкости, кто не любуется течением воды! Все мы в детстве любили плескаться в ванне или возиться в гряз­ных лужах. Став постарше, мы восхищались плавным течением реки, водопадами и водо­воротами; мы любуемся ими, рядом с твердыми телами они кажутся нам почти одушевленными.

Предметом этой и следующей глав будет пове­дение жидкости, столь неожиданное и столь интересное. Попытки ребенка преградить путь маленькому ручейку, текущему по улице, и его удивление перед тем, как вода умудряется все же пробить себе дорогу, напоминает наши мно­голетние попытки понять механизм течения жидкости. Мы пытались мысленно преградить путь воды дамбой, т. е. получить законы и урав­нения, которые описывают поток. Рассказу об этих попытках и посвящена настоящая глава. А в следующей главе мы опишем тот уникаль­ный способ, с помощью которого вода проры­вает дамбу и ускользает от нас, не дав нам понять ее.

Я предполагаю, что элементарные свойства воды вам уже известны. Основное свойство, которое отличает жидкость от твердого тела, заключается в том, что жидкость не способна сдерживать ни мгновение напряжения сдви­га. Если к жидкости приложить напряжение сдвига, то она начинает двигаться. Густые жидкости, подобные меду, движутся менее легко, чем жидкости типа воды или воздуха. Мерой легкости, с которой жидкость течет, является ее вязкость. В этой главе мы рас­смотрим такие случаи, когда эффектом вяз­кости можно пренебречь. А эффекты вязкости отложим до следующей главы.

Начнем с рассмотрения гидростатики, т. е. теории непод­вижной жидкости. Если жидкость находится в покое, то на нее не действуют никакие сдвиговые силы (даже в вязкой жидкости). Поэтому закон гидростатики заключается в том, что напряже­ния внутри жидкости всегда нормальны к любой ее поверх­ности. Нормальная сила на единичную площадь называется давлением. Из того факта, что в неподвижной жидкости нет сдвигов, следует, что напряжение давления во всех направле­ниях одинаково (фиг. 40.1).

Фиг. 40.1. В неподвижной жидкости сила, действующая на единичную площадь любой поверхности, перпендикулярна этой поверхности и при любых ориентациях поверхности одна и та же.

Займитесь самостоятельно доказа­тельством того, что если на любой плоскости в жидкости сдвиг отсутствует, то давление во всех направлениях должно быть одинаковым.

Давление в жидкости может изменяться от точки к точке. Так, в неподвижной жидкости на поверхности Земли давление будет изменяться с высотой из-за веса жидкости. Если плот­ность жидкости r считается постоянной и давление на некотором нулевом уровне обозначено через р0(фиг. 40.2), то давление на высоте h над этой точкой будет р=р0 -rgh, где g — сила тяжести единицы массы.

Фиг. 40.2. Давление в не­подвижной жидкости.

Комбинация р+rgh в неподвижной жидкос­ти остается постоянной. Вы знаете это соот­ношение, но теперь мы получим более об­щий результат, где на­ше соотношение будет лишь частным случа­ем. Возьмем маленький кубик воды. Какая сила действует на него в результате оказываемого давления? Поскольку давление в любом месте во всех направлениях одинаково, то полная сила, действующая на единицу объема, может быть обусловлена только изменением давления от точки к точке. Предполо­жим, что давление изменяется в направлении оси х, и выберем направления других осей координат параллельно ребрам ку­бика. Давление на грань с координатой х дает силу pDy/Dz (фиг. 40.3), а давление на грань с координатой х+Dх дает силу—[р+(др/дх) Dх] DyDz, так что результирующая сила равна -(др/дх)DxDyzDz.