Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Β«7. Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ° ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹Ρ… срСд». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 52

Автор Π ΠΈΡ‡Π°Ρ€Π΄ Π€Π΅ΠΉΠ½ΠΌΠ°Π½

Π― Π½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ Π²Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² подробности ΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Β­Π½ΠΈΠ·ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ скомканного листа сарана, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ эффСкты происходят, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ сСбС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π», ΠΈΠ·Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹Ρ… Π³ΠΈΠ±ΠΊΠΈΡ…, Π½ΠΎ ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΊΠΈΡ… Π½ΠΈΡ‚Π΅ΠΉ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡˆΠΊΡƒ с пустотСлыми ячСйками, Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ вязкой ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ячСйкой ΠΈ сосСдними с Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ·ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄Ρ‹, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ½ΠΈΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ячСйки Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ. Если ΠΌΡ‹ скомкаСм лист Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Π΄Π΅Β­Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ячСйки Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΆΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ячСйки, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ оказались растянутыми. Когда ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ отпускаСм лист, Ρ‚ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΠΈΡ‚ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ своСй ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Однако, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Β­Π»Π°Ρ‚ΡŒ это, ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π°ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° своС ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅Π΅ мСсто, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит довольно ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° Π΅Π΅ вязкости. Π‘ΠΈΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ, комкая лист, Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большС сил, Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… нитями. Π‘ΠΊΠΎΠΌΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ лист ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ быстро, Π° Π²ΠΎΡ‚ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΎΠ½ смоТСт Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΌΠ΅Π΄Β­Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅. НСсомнСнно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ комбинация Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ…, ТСстких ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡƒΠ» ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΌΠ΅Π»ΠΊΠΈΡ…, Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½Ρ‹Ρ…. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠ·ΠΌ согласуСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ с Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» быстрСС ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ свою ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ, Ссли ΠΎΠ½ Π½Π°Π³Ρ€Π΅Ρ‚, ΠΈ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅ Π² Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ состоянии: Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΡΠ·ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ) ΠΌΠ΅Π»ΠΊΠΈΡ… ΠΌΠΎΠ»Π΅ΠΊΡƒΠ».

Π₯отя ΠΌΡ‹ обсуТдали, ΠΊΠ°ΠΊ происходит Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° Π“ΡƒΠΊΠ°, Π½ΠΎ, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ всС ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π½Π°Ρ€ΡƒΒ­ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… дСформациях, Π° Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€Β­ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. НСкотороС понятиС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊ происходит, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, рассматривая ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ напряТСниС ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ энСргия Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Β­Ρ†ΠΈΠΈ измСняСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ напряТСния. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ скрутили ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» q. Если справСдлив Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ Π“ΡƒΠΊΠ°, Ρ‚ΠΎ энСргия Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρƒ q. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ энСргия являСтся Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΡƒΠ³Π»Π°. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ разлоТСния Вэйлора ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ нуля:

U(q)=U(0)+U'(0)q +1/2U’’(0)q2+1/6 U'''(q)q3+ -.. . (39.40)

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы t прСдставляСт ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ U ΠΏΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρƒ, поэтому

t(q)=U'(0)+U"(0) q+1/2U’’’(0)q2 + ... . (39.41)

Если Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡ‚ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΡ‚ полоТСния равновСсия, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ слагаСмоС ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ q ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»Π°Ρ… ΠΎΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π²ΠΎΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ слагаСмоС с q2. [На самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ Π² достаточной ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ симмСтричны, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ t(q)=-t(-q); слагаСмоС с q2 оказываСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ, Π° ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ линСйности происходит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ·-Π·Π° слагаСмого с q3. Однако Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для растяТСния ΠΈ сТатия.] ЕдинствСнно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ объяснили,β€” ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Ρ€ΡƒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ вскорС послС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ становятся сущСствСнными Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅Π³ΠΎ порядка.

Β§ 5. ВычислСниС ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… постоянных

ПослСдний вопрос Π² Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ упругости, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ я Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Ρƒ,β€” это ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠ° Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ постоянныС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, исходя ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… свойств Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ², ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… этот ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π». ΠœΡ‹ рассмотрим простой случай ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ кубичСского кристалла Ρ‚ΠΈΠΏΠ° хлористого натрия. Π Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ кристалла ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ измСнСния приводят ΠΊ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Β­Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ энСргии кристалла. Для вычислСния измС­нСния энСргии Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ слСдуСт Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΡƒΠ΄Π° ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π°Ρ‚ΠΎΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π½ΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ мСньшС, Π°Ρ‚ΠΎΠΌΡ‹ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Ρ‚ΠΊΠ΅ слоТных кристаллов ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ вСсьма слоТным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ довольно сильно затрудняСт вычислСниС энСргии Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. Но ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ получаСтся Π² случаС про­стого кубичСского кристалла, всС-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ. ВозмущСния Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ кристалла Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ гСомСтричСски ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ возмущСниям Π΅Π³ΠΎ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ.

Π£ΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ постоянныС кубичСского кристалла ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΒ­Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ. ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π°Π»ΠΈΒ­Ρ‡ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅Π³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π° взаимодСйствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ² Π² кристаллС. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ вычислим ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ энСргии кристалла ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ равновСсной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹. Π­Ρ‚ΠΎ даст Π½Π°ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ энСргиСй ΠΈ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, которая ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Β­Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π° ΠΏΠΎ дСформациям. Бравнивая ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ способом, с ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (39.13), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ коэф­фициСнты ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ слагаСмом с ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ постоянными Cijkl.

Π’ нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ простой Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ взаимодСйствия: ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сосСдними Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ силы, имСя Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π΄Π²Π° сосСдних Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°. ΠœΡ‹ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ силы Π² ΠΈΠΎΠ½Β­Π½Ρ‹Ρ… кристаллах Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΈΠΏΠ°, ΠΈΠ±ΠΎ Π² основС ΠΈΡ… Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ простоС кулоновскоС взаимодСйствиС. (ΠŸΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΠ²Π°Π»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΉ связи силы ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТны, ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ приводят ΠΈ ΠΊ Π±ΠΎΒ­ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ давлСнию Π½Π° сосСдниС Π°Ρ‚ΠΎΠΌΡ‹; Π½ΠΎ Π½Π°ΠΌ всС эти услоТнСния Π½ΠΈ ΠΊ Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ.) ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΌΡ‹ собираСмся ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ силу взаимодСйствия ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ° с блиТайшим ΠΊ Π½Π΅Β­ΠΌΡƒ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ побли­зости сосСдями. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ΠΌ силами ΠΌΠ΅ΠΆΒ­Π΄Ρƒ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΈΠΌΠΈ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ. На Ρ„ΠΈΠ³. 39.10,Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ си­лы Π² плоскости Ρ…Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ. Π‘Π»Π΅Β­Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΅Ρ‰Π΅ ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Β­ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ силы Π² плоскос­тях yz ΠΈ zx.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ нас ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Β­Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ постоянныС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠΈΒ­ΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ для энСргии Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ слагаСмыС, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Β­Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ дСформациям, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ силы ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ² ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ.

Π€ΠΈΠ³. 39.10. ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Π½Π°ΠΌΠΈ Π² расчСт ΠΌΠ΅ΠΆΠ°Ρ‚ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Π΅ силы (Π°) ΠΈ модСль, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΡ‹ связаны ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ°ΠΌΠΈ (Π±).

ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для наглядности ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая ΠΏΠ°Ρ€Π° Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ² соСдинСна Β«Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉΒ» ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠΎΠΉ (Ρ„ΠΈΠ³. 39.10, Π±). ВсС ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ натрия ΠΈ Ρ…Π»ΠΎΡ€Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ ΡƒΠΏΡ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ, скаТСм k1. ΠŸΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ натрия ΠΈ двумя Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ Ρ…Π»ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ постоянныС, Π½ΠΎ я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ наши рассуТдСния, ΠΈ поэтому Π±ΡƒΠ΄Ρƒ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ эти постоянныС Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΈΡ… Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· k2. (ПозднСС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ посмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΉΠ΄ΡƒΡ‚ вычислСния, Π²Ρ‹ смоТСтС Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π°Π·Π°Π΄ ΠΈ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.)

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ кристалл Π²ΠΎΠ·ΠΌΡƒΡ‰Π΅Π½ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, описываСмой Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠΌ eij. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, содСрТащиС Ρ…, Ρƒ ΠΈ z, Π½ΠΎ ΠΌΡ‹ для большСй наглядности рассмотрим Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ с трСмя ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΒ­Π½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌΠΈ: Π΅Ρ…Ρ…, Π΅xyΠΈ Π΅yy . Если ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ² Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π² качСствС Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ любого Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ° задаСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (39.9):

НазовСм Π°Ρ‚ΠΎΠΌ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ…=Ρƒ=0 Β«Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠΌ 1Β», Π° Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° Π΅Π³ΠΎ сосСдСй ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ Π½Π° Ρ„ΠΈΠ³. 39.11.

Π€ΠΈΠ³,39.11. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π»ΠΈΠΆΠ°ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… побли­зости сосСдСй Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ° 1. (ΠœΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π± сильно искаТСн.)

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ ΠΏΠΎΡΡ‚ΠΎΡΠ½Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π°, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ…- ΠΈ y-ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ пСрСмСщСния ux, uy , выписанныС Π² Ρ‚Π°Π±Π». 39.1.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 39.1 Β· ΠšΠžΠœΠŸΠžΠΠ•ΠΠ’Π« ΠŸΠ•Π Π•ΠœΠ•Π©Π•ΠΠ˜Π― ux, uΡƒ

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ, Π·Π°ΠΏΠ°ΡΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠ°Ρ…, которая Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ k2/2 Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ растяТСния ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠΈ. Π’Π°ΠΊ, энСргия Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ 1 ΠΈ 2 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π°

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка y-ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ° 2 Π½Π΅ измСняСт Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ 1 ΠΈ 2. Однако, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ диагональной ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ 3, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Β­Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·-Π·Π° Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΠ·-Π·Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΉ. Для ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΊΡƒΠ±Π° ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ расстояния Π΄ΠΎ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ° 3 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ суммы ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚ uΡ…ΠΈ uv Π² диагональном Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ:

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ uΡ…ΠΈ uy. ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°Β­ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для энСргии

Для ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ энСргии всСх ΠΏΡ€ΡƒΠΆΠΈΠ½ΠΎΠΊ Π² плоскости Ρ…Ρƒ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° сумма восьми Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Ρ‚ΠΈΠΏΠ° (39.43) ΠΈ (39.44). ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ эту ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· U0, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ