Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Β«ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ рассуТдСний. ΠžΠΏΡ‹Ρ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ²Β». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 15

Автор Π”ΠΌΠΈΡ‚Ρ€ΠΈΠΉ ПоспСлов

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ сами ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ всСх комбинациях истинности ΠΈ лоТности Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ?, ? ΠΈ ? Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ выписанныС аксиомы всСгда ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ истинными. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ аксиомы принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ логичСскими.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ описанию ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° R. Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΡ€ΠΈΡΡ‚ΠΎΡ‚Π΅Π»ΡŒ, создавая свои силлогистичСскиС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°, добивался Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ· истинных посылок всСгда слСдовали истинныС Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ. Если Π² качСствС аксиом ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Π΅ аксиомы, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌ свойством, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΈΠ· тоТдСствСнно истинных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ лишь тоТдСствСнно истинныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ, учитывая это, Π΄Π²Π° ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° исчислСния высказываний.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ носит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ подстановки. Богласно Π΅ΠΌΡƒ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, которая ΡƒΠΆΠ΅ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вмСсто Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ высказывания ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ любоС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта подстановка сдСлана Π²ΠΎ всСх мСстах вхоТдСния замСняСмого высказывания Π² Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. Вакая подстановка сохраняСт свойство Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ тоТдСствСнно истинной. Если Π² аксиому (?(??)) вмСсто ? ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ (?&?), Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ((?&?)((?&?)?)) останСтся тоТдСствСнно истинной, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ доказываСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ всСх ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ истинностных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ? ΠΈ ? ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для всСх Π½ΠΈΡ… получСнная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° остаСтся истинной.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ называСтся модус понСнс (Π»Π°Ρ‚. modus ponens) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Ссли ? ΠΈ (??) ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ истинными Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ? Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ истинна. Если ? являСтся истинной, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ (??) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ? являСтся истинной. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ‚ истинности Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ описали исчислСниС высказываний. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ устроСно Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠ² ΠΈΠ· аксиом ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ лишь тоТдСствСнно истинныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. МоТно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма логичСских аксиом ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для любой тоТдСствСнно истинной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ всСгда найдСтся Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠ² (логичСских рассуТдСний), с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΈΠ· систСмы аксиом ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ примСнСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» подстановки ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ построСна полная систСма аксиом, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ всС тоТдСствСнно истинныС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ. Как ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ исслСдования Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… систСм аксиом сущСствуСт ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. БистСма ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… аксиом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ рассмотрСли являСтся ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ. Π•Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» извСстный Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ ΠΈ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊ Π”. Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚.

ПодобноС свойство исчислСния высказываний позволяСт достаточно Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°Ρ€Π΄ΠΈΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ вопрос, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ для любой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы: ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π»ΠΈ нСкоторая ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΊ мноТСству Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС? Для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° Π½Π° этот вопрос Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части пСрСчислСны всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ истины ΠΈ Π»ΠΆΠΈ для высказываний, входящих Π² эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ (Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ n Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… высказываниях число ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 2n), Π° Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части выписаны значСния истинности провСряСмой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Если ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ столбСц состоит Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ «истина», Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° Π² исчислСнии высказываний. Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС Π΅Π΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСста.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π½Π°Π΄ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° Π»ΠΈ Π² исчислСнии высказываний Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ((??)?). Π’ эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ высказываниС ?. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ лишь Π΄Π²Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ истинности: ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ? истинно ΠΈ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΎ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС ΠΏΠΎ свойству ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ пСрвая скобка являСтся истинной, ΠΈΠ±ΠΎ ? Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Но Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° истинна ΠΈ вся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΈΠ±ΠΎ импликация истинна, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° истинны Π΅Π΅ лСвая ΠΈ правая части. Если ΠΆΠ΅ ? Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎ пСрвая скобка являСтся Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ (??) истинна, Π° правая Π»ΠΎΠΆΠ½Π°. Но Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° вся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° являСтся истинной. Π’Π΅ΠΌ самым Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ нас Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° являСтся тоТдСствСнно истинной ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ Π² исчислСнии высказываний.

О Ρ‡Π΅ΠΌ всС это Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚? ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° выводимости Π² исчислСнии высказываний конструктивно Ρ€Π°Π·Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌΠ°. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° общСзначимости (тоТдСствСнной истинности) Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сводится ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±ΠΎΡ€Ρƒ всСх Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ΠΎΠ², содСрТащихся Π² Π΅Π΅ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части, с Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ опрСдСлСния истинностного значСния провСряСмой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ значСния «лоТь» ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎ нСвыводимости. Если ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ всСх комбинациях, пСрСчислСнных Π² Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ части Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ «истина», Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠ° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ описанных Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ систСмы Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹Ρ… аксиом.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ эту ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, являСтся Π»ΠΈ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ((??)((??)&?)). Π’ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ ?) имССтся Ρ‚Ρ€ΠΈ высказывания, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ нСобходимости рассмотрСния истинного значСния ? Π½Π° 23=8 комбинациях. Π­Ρ‚ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ шаги ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ истинностного значСния ? Π½Π° Π½ΠΈΡ… Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π°Π±Π». 3, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ И ΠΈ Π› ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ соотвСтствСнно значСния «истина» ΠΈ «лоТь».


Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 3


ПоявлСниС Π² пятой строкС Π² столбцС ? значСния Π› ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΎ нСвыводимости исслСдуСмой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. На этом шагС процСсс Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ строки Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ лишь для ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Ρ‹.

Β«Π›ΠΎΠ³ΠΈΠΊ-Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΒ»

Π’Π°ΠΊ Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° для Π­Π’Πœ, созданная Π² сСрСдинС ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ‚Ρ‹Ρ… Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠ² амСриканским ΠΊΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ А. Ньюэллом Π² содруТСствС с психологом Π“. Π‘Π°ΠΉΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌ. Она Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π° для Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ Π² исчислСнии высказываний, Ρ‚.Π΅. для поиска обоснования тоТдСствСнной истинности Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ. Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ описанию ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Β«Π›ΠΎΠ³ΠΈΠΊ-Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΒ», Π²Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ понятиС ΠΎ равСнствС Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ исчислСния высказываний. Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ выраТСния ?1 ΠΈ ?2 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой, ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ?1=?2, Ссли Π½Π° всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π°Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ истинности входящих Π² Π½ΠΈΡ… элСмСнтарных высказываний ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ?1 ΠΈ ?2 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°.

ПоявлСниС Π·Π½Π°ΠΊΠ° равСнства, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π² исчислСнии высказываний, Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ нас ΡΠΌΡƒΡ‰Π°Ρ‚ΡŒ. Π•Π³ΠΎ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· рассмотрСния, ввСдя Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ((?1&?2)(?1&?2)). Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ истинной Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ истинности ?1 ΠΈ ?2 ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ?1=?2, становится эквивалСнтным ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ((?1&?2)(?1&?2)) являСтся истинной.

Β«Π›ΠΎΠ³ΠΈΠΊ-Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΒ» Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Π» Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π΅Π΄Π»ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° ?1=?2 для Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ?1 ΠΈ ?2. Однако Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Β«Π›ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°-Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Β» Π½Π΅ пошли ΠΏΠΎ прямому ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ. НС стали ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ для ?1 ΠΈ ?2 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ совпадСниС истинности ?1 ΠΈ ?2 Π½Π° всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… интСрпрСтациях истинности ΠΈΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ². Π’Π΅Π΄ΡŒ с ростом числа Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² n число строк Π² этих Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… растСт ΠΊΠ°ΠΊ 2n. А. Ньюэлл ΠΈ Π“. Π‘Π°ΠΉΠΌΠΎΠ½ пошли ΠΏΠΎ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ приблиТСния ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ это Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ люди.

Π’ основу процСсса Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ идСю Π»ΠΈΠΊΠ²ΠΈΠ΄Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΉ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ записи ?1 ΠΈ ?2. Авторы ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ составили ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΉ.

1. Π’ ?1 ΠΈ ?2 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ число Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ…. НапримСр, ?1=??, Π° ?2=??[6].

2. Π’ ?1 ΠΈ ?2 имССтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Π² основной связкС (Ρ‚.Π΅. Π² связкС, которая выполняСтся послСднСй). НапримСр, ?1=(??)(), Π° ?2=(?)?.

3. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ всСм Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ для ?1(?2) стоит Π·Π½Π°ΠΊ отрицания, Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ?2(?1) Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅Ρ‚. НапримСр, ?1=(??), Π° ?2=??.

4. АналогичноС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ касаСтся Π½Π΅ всСго выраТСния для ?i (i=1,2), Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π΅Π³ΠΎ подвыраТСния.

5. Π‘ΠΊΠΎΠ±ΠΊΠΈ Π² ?1 расставлСны Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² ?2. НапримСр, ?1=?(??), Π° ?2=(??)?.

6. Записи для ?1 ΠΈ ?2 ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ порядком слСдования ΠΏΠΎΠ΄Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. НапримСр, ?1=(??)?, Π° ?2=?(??).

Для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠΊΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ различия, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ 12 ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» исчислСния высказываний. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ сСмь ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ носят тоТдСствСнный Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€, Ρ‚.Π΅. Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ истинного значСния ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ». ПослСдниС ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ условии, Ρ‡Ρ‚ΠΎ лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… являСтся тоТдСствСнно истинной (T-Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ).