Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Β«ΠœΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ рассуТдСний. ΠžΠΏΡ‹Ρ‚ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° ΠΌΡ‹ΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ²Β». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 14

Автор Π”ΠΌΠΈΡ‚Ρ€ΠΈΠΉ ПоспСлов

О Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ шла Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅, ΠΈ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅, помнят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ систСмы Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ, состоящиС ΠΈΠ· мноТСства Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… элСмСнтов Π’, мноТСства синтаксичСских ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» L, мноТСства аксиом Q ΠΈ мноТСства ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° R. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ исчислСниС высказываний ΠΊΠ°ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму, Ρ‚ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ мноТСства.

Π’ качСствС элСмСнтов мноТСства Π’ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ элСмСнтарныС высказывания, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ латинскими Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ. Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ высказываниС элСмСнтарным, зависит ΠΎΡ‚ нашСй Π²ΠΎΠ»ΠΈ. Как станСт ясно ΠΈΠ· дальнСйшСго, этот вопрос Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… Ρ‚ΠΎΠΉ Π΄Π΅Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ систСмы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ строим. Для описания ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€ построСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… высказываний ΠΈΠ· элСмСнтарных, Ρ‚.Π΅. синтаксичСских, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» Π½Π°Π΄ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ввСсти Π·Π½Π°ΠΊΠΈ логичСских связок. Π’ качСствС Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… связок Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹ΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ извСстныС ΠΏΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ, Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ &, ΠΈ (ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° замСняя, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅, этот послСдний Π·Π½Π°ΠΊ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ свСрху Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ элСмСнтарному Π²Ρ‹ΡΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡŽ), Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ новая связка, называСмая ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ .

Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ синтаксичСских ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» для исчислСния высказываний.

1. ВсякоС элСмСнтарноС высказываниС являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ (Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ).

2. Если ? ΠΈ ? ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ?, (?&?), (??) ΠΈ (??).

3. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π² исчислСнии высказываний Π½Π΅Ρ‚.

ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ логичСских связок , &, ΠΈ ΠΈ конструкциями СстСствСнного языка сущСствуСт нСкоторая связь, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ…. Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ стихотворСниСм Π”Π°Π²ΠΈΠ΄Π° Π‘Π°ΠΌΠΎΠΉΠ»ΠΎΠ²Π° Β«ΠŸΠ΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒ, поэт ΠΈ Анна». Π’ΠΎΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ:

Π’Π°ΠΌ Анна ΠΏΠ΅Π»Π° с самого ΡƒΡ‚Ρ€Π°
И Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ шила ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠΈΠ²Π°Π»Π°.
И пСсня, долСтая со Π΄Π²ΠΎΡ€Π°,
Π•ΠΌΡƒ нСвольно сСрдцС Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²Π°Π»Π°.

Π’ этом Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡˆΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ элСмСнтарных высказывания: a – Β«Π’Π°ΠΌ Анна ΠΏΠ΅Π»Π° с самого ΡƒΡ‚Ρ€Π°Β», b – Β«Π§Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ (Анна) шила», с – Β«Π§Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ (Анна) Π²Ρ‹ΡˆΠΈΠ²Π°Π»Π°Β», d – «ПСсня, долСтая со Π΄Π²ΠΎΡ€Π°, Π΅ΠΌΡƒ нСвольно сСрдцС Π²ΠΎΠ»Π½ΠΎΠ²Π°Π»Π°Β». Π’ скобках ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ ΡΡƒΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, ΠΎΡ‚ΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ строкС ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Ρ‹Π²ΠΊΠ°. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ логичСская структура всСго Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡˆΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ описана ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: (Π° И (b Π˜Π›Π˜ c) И d). Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠΌΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΎΡŽΠ·Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π² явной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡΡƒΡ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π² тСкстС Π”. Π‘Π°ΠΌΠΎΠΉΠ»ΠΎΠ²Π°. МоТно Π»ΠΈ ΠΎΡ‚ этой записи ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ логичСским связкам?

Вспомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΈ Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅, опрСдСляя эти связки, ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ?&? являСтся истинным, Ссли истинны ΠΎΠ±Π° утвСрТдСния ? ΠΈ ?, Π° ?? являСтся истинным, Ссли истинно хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ? ΠΈΠ»ΠΈ ?. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ связок позволяСт ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ структуры, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΡŽΠ·Ρ‹ И ΠΈ Π˜Π›Π˜, ΠΊ записи ((a&(bc))&d), которая согласно синтаксичСским ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ исчислСния высказываний являСтся ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ этого исчислСния. ΠŸΡ€Π°Π²Π΄Π°, Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡƒΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π² этом ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ?? являСтся истинным ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ? ΠΈ ? истинны. Но ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ случай Π² нашСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½. Анна Π»ΠΈΠ±ΠΎ шила, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠΈΠ²Π°Π»Π°. ΠžΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Π»Π°. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, одноврСмСнная ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ? ΠΈ ? Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ сигнал ΠΎ лоТности Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ утвСрТдСния, Π° Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ истинно. Π­Ρ‚Ρƒ ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, ввСдя связку, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Но ΠΌΡ‹ этого Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ такая связка Π΅ΡΡ‚ΡŒ комбинация Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простых связок, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ: (?&?)(?&?).

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, достигаСм Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ†Π΅Π»ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ. Если ? ΠΈ ? Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (?&?) ΠΈ (?&?) ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ свойству Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½Π° ΠΈ вся большая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°. Если ΠΆΠ΅ ? ΠΈ ? ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ истинны, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π² Π½ΠΈΡ… входят Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ высказывания, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΈΠ· истинных ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ отрицания, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, вся Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ являСтся Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ. И лишь Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… высказываний ? ΠΈ ? ΠΎΠ΄Π½ΠΎ истинно, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСго высказывания. ПослС этого уточнСния ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° исчислСния высказываний, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ ((Π°&((b&c)(b&c)))&d).

Рассмотрим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ стихотворСния: «…Если Ρ‚Ρ€ΠΎΠ½ находится Π² странС Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ… дСспо?Ρ‚Π°, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° дворянства пСрвая Π·Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ основы власти ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Β». Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π΄Π²Π° элСмСнтарных высказывания: g – Β«Π’Ρ€ΠΎΠ½ находится Π² странС Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ… дСспо?Ρ‚Π°Β» ΠΈ h – «Дворянства пСрвая Π·Π°Π±ΠΎΡ‚Π° ΡΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ основы власти ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Β». Π’ΠΎΠ³Π΄Π° логичСская структура всСго высказывания ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСна Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ (Π•Π‘Π›Π˜ g Π’ΠžΠ“Π”Π h). Для ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π° ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ исчислСния высказываний Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ. РаньшС ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ?? истинно Π²ΠΎ всСх случаях, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ? истинно, Π° ? Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΈΠ· истинности ? Π² ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, которая являСтся истинной, всСгда слСдуСт ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ?.

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ запись (gh). Если g истинно, Ρ‚ΠΎ h Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ истинно, Ссли Ρ„Ρ€Π°Π·Π°, которая Π²Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° Π”. Π‘Π°ΠΌΠΎΠΉΠ»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π² уста ΠŸΠ΅ΡΡ‚Π΅Π»Ρ, являСтся истинной. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π² случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ g Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ? Для ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ истинности h, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ лоТности вся Ρ„Ρ€Π°Π·Π° Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ остаСтся истинной. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ссли Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«Π’Ρ€ΠΎΠ½ находится Π² странС Π² Ρ€ΡƒΠΊΠ°Ρ… дСспо?Ρ‚Π°Β», Ρ‚ΠΎ дворянство ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ основы власти ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ этого ΠΈ Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ. Всё Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ слоТноС высказываниС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΡΡ‚ΡŒ свою ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Если ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ лоТности g всСгда Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈ всС высказываниС Ρ†Π΅Π»ΠΈΠΊΠΎΠΌ, сохраняя ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ свойства ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ вСрнСмся ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

НавСрноС, самым Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½Ρ‹ΠΌ с Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Π·Π΄Ρ€Π°Π²ΠΎΠ³ΠΎ смысла Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ опрСдСлСния истинности ΠΈΠ»ΠΈ лоТности выраТСния (Π•Π‘Π›Π˜ ? Π’ΠžΠ“Π”Π ?), ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ? являСтся Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ. Ибо для Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π² этом случаС Π½Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Π»Π°Π²Π΅ ΠΌΡ‹ использовали Π·Π½Π°ΠΊ выводимости . Π’ΠΎΡ‚ с Π΅Π³ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² записи gh ΠΈΠ· истинности g всСгда слСдуСт ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ h, Π° ΠΏΡ€ΠΈ лоТности g Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ нСльзя. Но Π·Π½Π°ΠΊ выводимости Π½Π΅ являСтся логичСской связкой ΠΈ Π½Π΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² синтаксис исчислСния высказываний. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°ΡΡΡŒ Π² Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°Ρ… этого исчислСния, ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π½ΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ.

И Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΡΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚Π° связка, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ свСдСна ΠΊ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… связок, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π² исчислСнии. Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² справСдливости Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ?? Π½Π° ??. Однако ΠΏΠΎ ряду ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π² исчислСнии высказываний Π² Π΅Π³ΠΎ классичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ импликация сохраняСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ связка[5].

НС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ Ρ„Ρ€Π°Π· Π½Π° СстСствСнном языкС ΠΊ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌ исчислСния высказываний ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ прост. На этом ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ стоит Π½Π΅ΠΌΠ°Π»ΠΎ трудностСй, И ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ частицы ΠΈ ΡΠΎΡŽΠ·Ρ‹ языка Ρ‚ΠΈΠΏΠ° НЕ, И, Π˜Π›Π˜, ВО, Π•Π‘Π›Π˜ ΠΈ Ρ‚.ΠΏ. Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΡΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°ΠΌΠΈ наличия ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΡ… Π½Π° Π½ΠΈΡ… связок. Π¦ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΈΠ· стихотворСния Β«Π‘ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‚ΡŒ поэта» Π”. Π‘Π°ΠΌΠΎΠΉΠ»ΠΎΠ²Π° ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ это ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

И Π½Π΅ Π²Π΅Π΄Π°Π» я, Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π»ΠΈ это
ΠžΡ‚ΠΏΠ΅Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π³ΠΎΠ΄Π°,
Π’ΠΎΡΠΏΠ΅Π²Π°Π½ΡŒΠ΅ΠΌ страны ΠΈ Π½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π°
Или просто ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ поэта.

Π’ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ здСсь И ΠΈ Π˜Π›Π˜ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ прямыми Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³Π°ΠΌΠΈ связок исчислСния высказываний.

ΠœΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ мноТСство Π±Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… элСмСнтов ΠΈ мноТСство синтаксичСских ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ». Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ввСсти мноТСство аксиом. Π’ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ Π² качСствС мноТСства аксиом Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ тоТдСствСнно истинными). Высказывания, описываСмыС этими Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ всСгда истинны. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ мноТСства Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»:



Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ сами ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ всСх комбинациях истинности ΠΈ лоТности Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ?, ? ΠΈ ? Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ выписанныС аксиомы всСгда ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ истинными. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ аксиомы принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ логичСскими.