Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ «Новый ΡƒΠΌ короля: О ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈΒ». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 32

Автор ΠŸΠ΅Π½Ρ€ΠΎΡƒΠ· Π ΠΎΠ΄ΠΆΠ΅Ρ€

Новый ΡƒΠΌ короля: О ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ - i_048.png

Ρ€Π°Π· мСньшС Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² частиц. И ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ясно, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ‹ Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ физичСский смысл Ρƒ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ абсурдно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΎΠ². Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π² ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.

БистСма Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π° Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π² силу Π΅Π΅ матСматичСской полСзности, простоты ΠΈ изящСства, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½Π° согласуСтся Π½Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΎΠ² с физичСскими понятиями пространства ΠΈ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. Она Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° согласуСтся с упомянутыми физичСскими Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π½Π° всСх ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°Ρ…. Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ согласиС Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ мСста Π½Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… пространствСнных ΠΈ врСмСнны́х ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°Ρ…. ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ расстояния ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ, Π½ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠ° оказываСтся «зСрнистой» ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΅Π΅ Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ². Π‘Π°ΠΌΠΎ ΠΏΠΎ сСбС это Π½Π΅ ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа подходящим ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… расстояний Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡƒΠΆΠ΅ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большСй ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. По ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ-ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°Ρ… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ трудности с расстояниями. Как оказываСтся, ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π° оказалась ΠΊ Π½Π°ΠΌ Π½Π° ΡƒΠ΄ΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ благосклонна, сдСлав Ρ‚Π΅ самыС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ повсСднСвно ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ для описания ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°Ρ…, ΠΏΡ€ΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ для описания расстояний Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΡ… Π°Ρ‚ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… β€” ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°Ρ…, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сотой «классичСского» Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π° элСмСнтарной частицы β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ элСктрон ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΎΠ½,Β β€” ΠΈ, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, Π²ΠΏΠ»ΠΎΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎ Β«ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΎΠ² ΠΊΠ²Π°Π½Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π³Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈΒ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΡŒ порядков мСньшС Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… частиц! Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ сильной экстраполяции нашСго ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°. Π‘Ρ„Π΅Ρ€Π° примСнимости ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ понятия расстояния, измСряСмого Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, простираСтся Π΄ΠΎ самых Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ²Π°Π·Π°Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ дальшС. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΡ‹Ρ… расстояний составляСт 1042, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, 1060 ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ большС. ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, сомнСния Π² правомСрности использования систСмы Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π²Ρ‹ΡΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠΆ часто. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти числа Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ описаниС физичСских явлСний, хотя Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ± ΠΈΡ… примСнимости ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ лишь Π² вСсьма ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±ΠΎΠ²? Π”ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ, эта ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, нСвСрная β€” основываСтся Π½Π° (ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ часто ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ…) логичСском изящСствС, Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅ΠΉ согласованности ΠΈ матСматичСской ΠΌΠΎΡ‰ΠΈ систСмы Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Π² сочСтании с Π²Π΅Ρ€ΠΎΠΉ Π² Π³Π»ΡƒΠ±ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π³Π°Ρ€ΠΌΠΎΠ½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρ‹.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа

ΠžΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа β€” это Π½Π΅ СдинствСнная матСматичСски мощная ΠΈ изящная систСма чисСл. БистСма Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл всС ΠΆΠ΅ Π½Π΅ лишСна Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… нСудобств. НапримСр, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл (ΠΈΠ»ΠΈ нуля), Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π‘ матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния β€” ΠΈ ΠΎΡ‚Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΡΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ° Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ вопроса ΠΎ нСпосрСдствСнной связи с физичСском ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠΌ β€” Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ постулируСм сущСствованиС, ΠΈΠ»ΠΈ попросту Β«ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π΅ΠΌΒ» ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа -1. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ i. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

i 2 = -1.

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° i, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ ΠΆΠ΅, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π° самого сСбя всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ссли само число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ). ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ числа, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эти Β«ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅Β» числа Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Β«Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅Β» числа. Как я ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π» Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, связь Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Β«Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…Β» чисСл с физичСской Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ нСпосрСдствСнна ΠΈ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд, ΠΈ основана Π½Π° матСматичСской ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎ допустимости бСсконСчного уточнСния, которая Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ясного Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ обоснования Π² ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅.

ИмСя ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· -1, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Π΅Π· особого Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ для всСх Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Если Π° являСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° i Ρ… √a Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа β€” Π°. (Π£ этого числа Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ β€” i Ρ… √а.) Ну, Π° Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ самом числС i ? Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ? РазумССтся Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°

1+i /√2

(Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, взятая с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ), Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‡ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, Ρ€Π°Π²Π½Π° i. А Ρƒ этой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π² свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ? ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ: ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ числа

Новый ΡƒΠΌ короля: О ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ - i_049.png
Β ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ числа, взятого с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (1 + i)/√2.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈ сСбС ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ числа, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ наши числа Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π° это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π½Π° ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹). ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ комплСксными числами. КомплСксноС число это число Π²ΠΈΠ΄Π°: Π° + ib, Π³Π΄Π΅ Π° ΠΈ b β€” это Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Π΅, соотвСтствСнно, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ комплСксного числа. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° слоТСния ΠΈ умноТСния Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… чисСл Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ· ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» (школьной) Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ с ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ i 2Β = β€” 1:

(а + ib) + (с + id) = (а + с) + i(b + d),

(Π° + ib) Ρ… (с + id)Β = (ас β€” bd) + i(ad + bc).

Π£Π΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ: ΠΊ созданию этой систСмы чисСл нас ΠΏΠΎΠ΄Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡƒΠ»ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… чисСл. Π­Ρ‚Π° Ρ†Π΅Π»ΡŒ достигнута, хотя само ΠΏΠΎ сСбС это Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π΅ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ. Но новая систСма чисСл позволяСт Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большС: Π±Π΅Π·Π½Π°ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ кубичСскиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ пятой стСпСни, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ дСвяносто дСвятой стСпСни, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ο€-ΠΉ стСпСни, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ стСпСни 1 + i ΠΈ Ρ‚.Β Π΄. (это смог Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ Π›Π΅ΠΎΠ½Π°Ρ€Π΄ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€). Π’ качСствС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π²ΠΎΠ»ΡˆΠ΅Π±Π½Ρ‹Ρ… свойств комплСксных чисСл рассмотрим довольно слоТныС Π½Π° Π²ΠΈΠ΄ тригономСтричСскиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ проходят Π² школС. Π’Π°ΠΊ, синус ΠΈ косинус суммы Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²

sin (А + Π’)Β = sin A cos Π’ + cos A sin Π’,

cos (А + Π’) = cos A cos Π’ β€” sin A sin Π’

ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой, соотвСтствСнно, просто-напросто ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡƒΡŽ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ части Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простого (ΠΈ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ!) комплСксного уравнСния [62]:

e iA+iB= e iA e iB

ВсС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ здСсь Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, это Β«Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°Β» (ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡƒ, получСнная Π·Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ английским ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ XVI Π²Π΅ΠΊΠ° Π ΠΎΠ΄ΠΆΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠšΠΎΡ‚ΡΠΎΠΌ):

e iA= cosA+i sinA,

ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ подставим Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

cos (А + B) + i sin (А + Π’) = (cosА + i sinA)(cosΠ’ + i sinΠ’),

ΠΈ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ искомыС тригономСтричСскиС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, любоС алгСбраичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅

Новый ΡƒΠΌ короля: О ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ…, ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°Ρ… Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ - i_050.png

(Π³Π΄Π΅ a0, a1, a2….,an ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ комплСксными числами ΠΈ anβ‰  0) всСгда ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ своим Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ комплСксноС число z. НапримСр, сущСствуСт комплСксноС число, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ: