ΡΠ°Π· ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠ°ΡΡΠΈΡ. Π ΡΠΎΠ²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΡΠ½ΠΎ, Π΅ΡΡΡ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π±Ρ ΡΠΎ Π½ΠΈ Π±ΡΠ»ΠΎ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΡΡΠ» Ρ ΡΡΠΎΠ»Ρ Π°Π±ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΎΠ². Π’ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΈ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ»Ρ ΠΆΠ΅ ΠΌΠ°Π»ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠ² Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ.
Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π° Π² ΡΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Π² ΡΠΈΠ»Ρ Π΅Π΅ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΎΠ½Π° ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠΈΡΠΎΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΎΠ² Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡΠΌΠΈ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π° ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠΠ½Π° Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠΌΡ, ΡΡΠΎ ΠΌΡ Π±ΡΠ΄ΡΠΎ Π±Ρ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΡΠ΅ΡΡΡ Ρ ΡΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡΡΡΠΌΠΈ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π½Π° Π²ΡΠ΅Ρ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°Ρ . Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΠ΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΡΠ° Π½Π° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ°Π»ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΜΡ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°Ρ . ΠΠ±ΡΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ, Π½ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠ° ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Β«Π·Π΅ΡΠ½ΠΈΡΡΠΎΠΉΒ» ΠΏΡΠΈ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π΅ ΠΊ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°ΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡΠΈΡ Π΅Π΅ Π°ΡΠΎΠΌΠΎΠ². Π‘Π°ΠΌΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°ΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΏΠΎΠ΄Ρ ΠΎΠ΄ΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΡΠΆΠ΅ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. ΠΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ Π±ΡΡΡ Π³ΠΎΡΠΎΠ²Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ Π½Π° ΠΎΡΠ΅Π½Ρ-ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΌΠ°Π»ΡΡ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°Ρ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π²ΡΡΡΠ΅ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΊ ΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Π° ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»Π°ΡΡ ΠΊ Π½Π°ΠΌ Π½Π° ΡΠ΄ΠΈΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±Π»Π°Π³ΠΎΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Π°, ΡΠ΄Π΅Π»Π°Π² ΡΠ΅ ΡΠ°ΠΌΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΌΡ ΠΏΡΠΈΠ²ΡΠΊΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅Π΄Π½Π΅Π²Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΎΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°Ρ , ΠΏΡΠΈΠ³ΠΎΠ΄Π½ΡΠΌΠΈ Π΄Π»Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΡ Π°ΡΠΎΠΌΠ½ΡΡ β ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅, Π½Π° ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±Π°Ρ , ΡΠ°Π²Π½ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΎΠΉ Β«ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎΒ» Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠ° ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈΡΡ β ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠ»Π΅ΠΊΡΡΠΎΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠΎΠ½,Β β ΠΈ, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡ, Π²ΠΏΠ»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎ Β«ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΎΠ² ΠΊΠ²Π°Π½ΡΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠΈΠΈ Π³ΡΠ°Π²ΠΈΡΠ°ΡΠΈΠΈΒ», ΡΡΠΎ Π½Π° Π΄Π²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ² ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΠ°Π·ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠΈΡ! ΠΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΊΡΡΡΠ°ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΈ Π½Π°ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΠΏΡΡΠ°. Π‘ΡΠ΅ΡΠ° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ²ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΡ, ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ°ΠΌΡΡ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π·Π°ΡΠΎΠ² ΠΈ Π΅ΡΠ΅ Π΄Π°Π»ΡΡΠ΅. ΠΠ±ΡΠΈΠΉ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠΈΠΌΡΡ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ 1042, Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ, 1060 ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅. ΠΡΡΠ°ΡΠΈ, ΡΠΎΠΌΠ½Π΅Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΡΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ ΡΠΆ ΡΠ°ΡΡΠΎ. ΠΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΠΌΡ ΡΠ°ΠΊ ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Ρ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄Π°ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ ΠΎΡΡ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ± ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ ΠΌΡ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π»ΠΈΡΡ Π² Π²Π΅ΡΡΠΌΠ° ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π±ΠΎΠ²? ΠΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡΡΡ, ΡΡΠ° ΡΠ²Π΅ΡΠ΅Π½Π½ΠΎΡΡΡ β Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π½Π΅Π²Π΅ΡΠ½Π°Ρ β ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° (ΠΏΡΠ°Π²Π΄Π°, Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ°ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈΠ·Π½Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡΡ ) Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅, Π²Π½ΡΡΡΠ΅Π½Π½Π΅ΠΉ ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΡΡΠΈ ΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΡΠΈ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π² ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠΈ Ρ Π²Π΅ΡΠΎΠΉ Π² Π³Π»ΡΠ±ΠΈΠ½Π½ΡΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π³Π°ΡΠΌΠΎΠ½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Ρ.
ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° β ΡΡΠΎ Π½Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ ΠΌΠΎΡΠ½Π°Ρ ΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π». Π‘ΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΡΠ΅ ΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π»ΠΈΡΠ΅Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ². ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» (ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡΠ»Ρ), Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». Π‘ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ β ΠΈ ΠΎΡΠ²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΊΠ° ΡΡΠΎ ΠΎΡ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡΠ° ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠ²ΡΠ·ΠΈ Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΌ ΠΌΠΈΡΠΎΠΌ β Π±ΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ , ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ°Π²Π°ΠΉΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΡΠ»ΠΈΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΡΠΎΡΡΡ Β«ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΌΒ» ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΡΠΈΡΠ»Π° -1. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π±ΡΠΊΠ²ΠΎΠΉ i. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
i 2 = -1.
ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° i, ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΆΠ΅, Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΡΠ°ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅Π±Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ Π½ΡΠ»Ρ). ΠΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Ρ, ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΈ Β«ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅Β» ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½Ρ, ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ°Π²ΡΠΈΠ΅ ΡΠΆΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Β«Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅Β» ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΠ°ΠΊ Ρ ΡΠΆΠ΅ ΠΎΡΠΌΠ΅ΡΠ°Π» Π²ΡΡΠ΅, ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ Β«Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ Β» ΡΠΈΡΠ΅Π» Ρ ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ΅Π°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π½Π΅ ΡΡΠΎΠ»Ρ Π½Π΅ΠΏΠΎΡΡΠ΅Π΄ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π° ΠΈ ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ Π½Π° ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²Π·Π³Π»ΡΠ΄, ΠΈ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΎ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠΎΡΠ½Π΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°ΠΏΡΠΈΠΎΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΡΠΈΡΠΎΠ΄Π΅.
ΠΠΌΠ΅Ρ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· -1, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Π΅Π· ΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠ΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΡΠ»ΠΈ Π° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ, ΡΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° i Ρ βa Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΈΠ· ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° β Π°. (Π£ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΅ΡΡΡ Π΅ΡΠ΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ, Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ β i Ρ βΠ°.) ΠΡ, Π° ΡΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ ΠΎ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π΅ i ? ΠΡΡΡ Π»ΠΈ Ρ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ? Π Π°Π·ΡΠΌΠ΅Π΅ΡΡΡ Π΅ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ, ΠΊΠ°ΠΊ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡΠΎΠ²Π΅ΡΠΈΡΡ, Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°
1+i /β2
(ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΡΠ° ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, Π²Π·ΡΡΠ°Ρ Ρ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ), Π±ΡΠ΄ΡΡΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π² ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ, ΡΠ°Π²Π½Π° i. Π Ρ ΡΡΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, Π΅ΡΡΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΉ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ? ΠΡΠ²Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΉ: ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°Ρ ΡΠΈΡΠ»Π°
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΎΠ΄Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°ΡΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ Π½Π°ΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΈΡ Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠ΅ Π½Π΅Π½ΡΠ»Π΅Π²ΡΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π° ΡΡΠΎ ΡΠΎ ΠΆΠ΅ ΡΠ°ΠΌΠΎΠ΅, ΡΡΠΎ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡΡ ΠΈΡ Π½Π° ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ). ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌΡΠ΅ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΊΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π°: Π° + ib, Π³Π΄Π΅ Π° ΠΈ b β ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΡΠ΅, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°. ΠΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π° ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π²ΡΡΠ΅ΠΊΠ°ΡΡ ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ» (ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠΉ) Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΡ Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ i 2Β = β 1:
(Π° + ib) + (Ρ + id) = (Π° + Ρ) + i(b + d),
(Π° + ib) Ρ (Ρ + id)Β = (Π°Ρ β bd) + i(ad + bc).
Π£Π΄ΠΈΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΎ: ΠΊ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ»ΠΊΠ½ΡΠ»ΠΎ ΠΆΠ΅Π»Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· Π»ΡΠ±ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΡΠ° ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π½ΡΡΠ°, Ρ ΠΎΡΡ ΡΠ°ΠΌΠΎ ΠΏΠΎ ΡΠ΅Π±Π΅ ΡΡΠΎ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ. ΠΠΎ Π½ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ° ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Ρ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅: Π±Π΅Π·Π½Π°ΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°ΡΡ ΠΊΡΠ±ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Π΄Π΅Π²ΡΠ½ΠΎΡΡΠΎ Π΄Π΅Π²ΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ Ο-ΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡΠ½ΠΈ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ 1 + i ΠΈ Ρ.Β Π΄. (ΡΡΠΎ ΡΠΌΠΎΠ³ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ Π΅ΡΠ΅ Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΠ΅ΠΎΠ½Π°ΡΠ΄ ΠΠΉΠ»Π΅Ρ). Π ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° Π²ΠΎΠ»ΡΠ΅Π±Π½ΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ² ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ Π½Π° Π²ΠΈΠ΄ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡ Π² ΡΠΊΠΎΠ»Π΅. Π’Π°ΠΊ, ΡΠΈΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡ ΡΡΠΌΠΌΡ Π΄Π²ΡΡ ΡΠ³Π»ΠΎΠ²
sin (Π + Π)Β = sin A cos Π + cos A sin Π,
cos (Π + Π) = cos A cos Π β sin A sin Π
ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ-Π½Π°ΠΏΡΠΎΡΡΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡΡ ΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΈ Π³ΠΎΡΠ°Π·Π΄ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠ³ΠΎ (ΠΈ Π»Π΅Π³ΡΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ!) ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ [62]:
e iA+iB= e iA e iB
ΠΡΠ΅, ΡΡΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ Π·Π½Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Β«ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Π° ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ°Β» (ΠΏΠΎ-Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠΌΡ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π·Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅Ρ Π΄ΠΎ ΠΠΉΠ»Π΅ΡΠ° Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π°Π½Π³Π»ΠΈΠΉΡΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ XVI Π²Π΅ΠΊΠ° Π ΠΎΠ΄ΠΆΠ΅ΡΠΎΠΌ ΠΠΎΡΡΠΎΠΌ):
e iA= cosA+i sinA,
ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ Π² ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:
cos (Π + B) + i sin (Π + Π) = (cosΠ + i sinA)(cosΠ + i sinΠ),
ΠΈ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ² ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±ΡΠ°ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅
(Π³Π΄Π΅ a0, a1, a2β¦.,an ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ anβ 0) Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΠ²ΠΎΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ z. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠ΅Π΅ ΡΠΎΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ: