Читать онлайн «6. Электродинамика». Страница 11

ЗАКОНЫ ИНДУКЦИИ

§ 1. Физика индукции

§ 2. Исключения из «правила потока»

§ 3. Ускорение частицы в индуцированном электрическом поле; бетатрон

§ 4. Парадокс

§ 5. Генератор переменного тока

§ 6. Взаимная индукция

§ 7. Самоиндукция

§ 8. Индуктивность и магнитная энергия

§ 1. Физика индукции

В предыдущей главе мы описали множество явлений, которые показали, что эффекты индукции весьма сложны и интересны. Сейчас мы хотим обсудить основные законы, управ­ляющие этими эффектами. Мы уже определяли э. д. с. в проводящей цепи как полную силу, действующую на заряды, просуммированную по всей длине цепи. Более точно, это танген­циальная компонента силы на единичный заряд, проинтегрированная по всему проводу вдоль цепи. Следовательно, эта величина равна пол­ной работе, совершаемой над единичным заря­дом, когда он обходит один раз вокруг цепи.

Мы дали также «правило потока», которое утверждает, что э. д. с. равна скорости изме­нения магнитного потока сквозь такую цепь проводников. Давайте посмотрим, можем ли мы понять, почему это так. Прежде всего рассмотрим случай, когда поток меняется из-за того, что цепь движется в постоянном поле.

На фиг. 17.1 показана простая проволочная петля, размеры которой могут меняться. Петля состоит из двух частей — неподвижной U-образной части (а) и подвижной перемычки (b), которая может скользить вдоль двух плеч U. Цепь всегда замкнута, но площадь ее может меняться. Предположим, что мы помещаем эту петлю в однородное магнитное поле так, что плоскость U оказывается перпендикуляр­ной полю. Согласно правилу, при движении перемычки в петле должна возникать э. д. с., пропорциональная скорости изменения потока сквозь петлю. Эта э. д. с. будет порождать в петле ток. Мы предположим, что сопротивле­ние проволоки достаточно велико, так что токи малы.

Фиг. 17.1. В рамке наводится э.д.с., если поток меняется за счет изменения площади рамки при перемещении перемычки b.

Тогда магнитным полем от этого тока можно пре­небречь.

Поток через петлю равен wLB, поэтому «правило потока» дало бы для э. д. с. (ее обозначим через о)

где v — скорость смещения перемычки.

Нам следовало бы понимать этот результат и с другой точки зрения, отправляясь от магнитной силы vXB, действующей на заряды в движущейся перекладине. Эти заряды будут чув­ствовать силу, касательную к проволоке и равную vB для единичного заряда. Она постоянна вдоль длины w перемычки и равна нулю в остальных местах, поэтому интеграл равен

E= -wvB,

что в точности совпадает с результатом, полученным из ско­рости изменения потока.

Приведенное доказательство можно распространить на лю­бой случай, когда магнитное поле постоянно и провода дви­жутся. Можно в общем виде доказать, что для любой цепи, части которой движутся в постоянном магнитном поле, э. д. с. равна производной потока по времени независимо от формы цепи.

Ну а что произойдет, если петля будет неподвижна, а маг­нитное поле изменится? На этот вопрос мы не можем ответить с помощью тех же аргументов. Фарадей открыл (поставив опыт), что «правило потока» остается справедливым независи­мо от того, почему меняется поток.

Сила, действующая на электрические заряды, в общем случае дается формулой F = q(E+vXB); новых особых «сил за счет изменения магнитного поля» не существует. Любые силы, действующие на покоящиеся заряды в неподвижной проволоке, возникают за счет Е. Наблюдения Фарадея при­вели к открытию нового закона о связи электрического и магнитного полей: в области, где магнитное поле меняется со временем, генерируются электрические поля. Именно это элек­трическое поле и гонит электроны по проволоке, и, таким обра­зом, оно-то и ответственно за появление э. д. с. в неподвиж­ной цепи, когда магнитный поток изменяется.

Общий закон для электрического поля, связанного с изме­няющимся магнитным полем, такой:

(17.1)

Мы назовем его законом Фарадея. Он был открыт Фарадеем, но впервые в дифференциальной форме записан Максвеллом в качестве одного из его уравнений. Давайте посмотрим, как из этого уравнения получается «правило потока» для цепей. Используя теорему Стокса, этот закон можно записать в интегральной форме

(17.2)

где, как обычно, Г — произвольная замкнутая кривая, a S — любая поверхность, ограниченная этой кривой. Вспомним, что здесь Г — это математическая кривая, зафиксированная в про­странстве, a S — фиксированная поверхность. Тогда производ­ную по времени можно вынести за знак интеграла:

(17.3)

Применяя это соотношение к кривой Г, которая идет вдоль неподвижной цепи проводников, мы получаем снова «правило потока». Интеграл слева — это э. д. с., а в правой части с об­ратным знаком стоит скорость изменения потока, проходящего внутри контура. Итак, соотношение (17.1), примененное к не­подвижному контуру, эквивалентно «правилу потока».

Таким образом, «правило потока» согласно которому э. д. с. в контуре равна взятой с обратным знаком скорости, с которой меняется магнитный поток через контур, применимо, когда поток меняется за счет изменения поля или когда движется контур (или когда происходит и то, и другое). Две возмож­ности —«контур движется» или «поле меняется» — неразли­чимы в формулировке правила. Тем не менее для объяснения правила в этих двух случаях мы пользовались двумя совершенно разными законами: vXB для «движущегося контура» и СXЕ = -dB/dt для «меняющегося поля».

Мы не знаем в физике ни одного другого такого примера, когда бы простой и точный общий закон требовал для своего настоящего понимания анализа в терминах двух разных явлений. Обычно столь красивое обобщение оказывается исходящим из единого глубокого основополагающего принципа. Но в этом случае какого-либо особо глубокого принципа не видно. Мы должны воспринимать «правило» как совместный эффект двух совершенно различных явлений.

На «правило потока» мы должны посмотреть следующим образом. Вообще говоря, сила на единичный заряд равна F/q = Е+vXB. В движущихся проводниках сила возникает за счет v. Кроме того, возникает поле Е, если где-либо меняется магнитное поле. Эти эффекты независимы, но э. д. с. вокруг проволочной петли всегда равна скорости изменения магнитного потока сквозь петлю.

§ 2. Исключения из «правила потока»

Здесь мы приведем несколько примеров, частично известных Фарадею, которые показывают, как важно ясно понимать раз­ницу между двумя эффектами, ответственными за возникнове­ние наведенной э. д. с. Наши примеры включают те случаи, когда «правило потока» неприменимо либо потому, что вообще никаких проводов нет, либо потому, что путь, избираемый индуцированными токами, проходит внутри объема провод­ника.

Вначале сделаем важное замечание: та часть э. д. с., которая возникает за счет поля Е, не связана с существованием физиче­ской проволоки (в отличие от части vXВ). Поле Е может суще­ствовать в пустом пространстве, и контурный интеграл от него по любой воображаемой линии в пространстве есть скорость из­менения потока В через эту линию.

Фиг. 17.2. При вращении диска слагаемое vXB порож­дает э.д.с., но поток сквозь цепь не меняется.

Фиг. 17.3. При повороте пластинок в однородном маг­нитном поле поток может сильно меняться, но э.д.с. не возникает.

(Заметьте, что это совсем непохоже на поле Е, создаваемое статическими зарядами, так как в электростатике контурный интеграл от Е по замкнутой петле всегда равен нулю.)

Теперь опишем случай, когда поток через контур не меняется, а э. д. с. тем не менее существует. На фиг. 17.2 пока­зан проводящий диск, помещенный в магнитное поле и который может вращаться на неподвижной оси. Один контакт приделан к оси, а другой трется о внешний край диска. Цепь замыкается через гальванометр. Когда диск вращается, «контур» (в смысле места в пространстве, где текут токи) всегда остается тем же самым. Но часть «контура» проходит в диске, в движущемся материале. Хотя поток по контуру постоянен, э. д. с. все же есть, в этом можно убедиться по отклонению гальванометра. Ясно, что здесь перед нами случай, когда за счет силы vXB в движущемся диске возникает э. д. с., которая не может быть равна изменению потока.

В качестве обратного примера мы сейчас рассмотрим не­сколько необычный случай, когда поток через «контур» (снова в смысле того места, где текут токи) изменяется, а э. д. с. отсутствует. Представим себе две металлические пластины со слегка изогнутыми краями (фиг. 17.3), помещенные в одно­родное магнитное поле, перпендикулярное их плоскости. Каж­дая пластина присоединена к одному из полюсов гальвано­метра, как показано на фигуре. Пластины образуют контакт в одной точке Р, так что цепь замкнута. Если теперь повернуть пластины на небольшой угол, точка контакта сдвинется в Р'.