Читать онлайн «4. Кинетика. Теплота. Звук». Страница 5

1/2m1v21=1/2m2v22. (39.21)

Если газ состоит из атомов двух сортов, то можно показать (и мы даже считаем, что нам удалось это сделать), что средние кинетические энергии атомов каждого сорта равны, когда газ находится в состоянии равновесия. Это означает, что тяжелые атомы движутся медленнее, чем легкие; это легко проверить, поставив эксперимент с «атомами» различных масс в воздушном желобе.

Теперь сделаем следующий шаг и покажем, что если в ящи­ке имеются два газа, разделенные перегородкой, то по мере достижения равновесия средние кинетические энергии атомов разных газов будут одинаковы, хотя атомы и заключены в разные ящики. Рассуждение можно построить по-разному. Например, можно представить, что в перегородке проделана маленькая дырочка (фиг. 39.4), так что молекулы одного газа проходят сквозь нее, а молекулы второго слишком велики и не пролезают.

Фиг. 39. 4. Два газа в ящике, разделенном полупроницаемой пере­городкой.

Когда установится равновесие, то в том отделе­нии, где находится смесь газов, средние кинетические энергии молекул каждого сорта сравняются. Но ведь в числе проник­ших сквозь дырочку молекул есть и такие, которые не потеря­ли при этом энергии, поэтому средняя кинетическая энергия молекул чистого газа должна быть равна средней кинетичес­кой энергии молекул смеси. Это не очень удовлетворительное доказательство, потому что ведь могло и не быть такой дырочки, сквозь которую пройдут молекулы одного газа и не смогут прой­ти молекулы другого.

Давайте вернемся к задаче о поршне. Можно показать, что кинетическая энергия поршня тоже должна быть равна 1/2m2v22. Фактически кинетическая энергия поршня связана только с его горизонтальным движением. Пренебрегая возмож­ным движением поршня вверх и вниз, мы найдем, что гори­зонтальному движению соответствует кинетическая энергия 1/2m2v22x. Но точно так же, исходя из равновесия на другой сто­роне, можно показать, что кинетическая энергия поршня долж­на быть равна 1/2т1v21x. Хотя мы повторяем предыдущее рас­суждение, возникают некоторые дополнительные трудности в связи с тем, что в результате столкновений средние кинети­ческие энергии поршня и молекулы газа сравниваются, потому что поршень находится не внутри газа, а смещен в одну сто­рону.

Если вас не удовлетворит и это доказательство, то можно придумать искусственный пример, когда равновесие обеспечи­вается устройством, по которому молекулы каждого газа бьют с обеих сторон. Предположим, что сквозь поршень проходит короткий стержень, на концах которого насажено по шару. Стержень может двигаться сквозь поршень без трения. По каж­дому из шаров со всех сторон бьют молекулы одного сорта. Пусть масса нашего устройства равна m, а массы молекул газа, как и раньше, равны m1и m2. В результате столкновений с молекулами первого сорта кинетическая энергия тела массы m равна среднему значению 1/2 mtv21(мы уже доказали это). Точно так же, столкновения с молекулами второго сорта зас­тавляют тело иметь кинетическую энергию, равную среднему значению 1/2mzv22. Если газы находятся в тепловом равнове­сии, то кинетические энергии обоих шаров должны быть рав­ны. Таким образом, результат, доказанный для случая смеси газов, можно немедленно обобщить на случай двух разных газов при одинаковой температуре.

Итак, если два газа имеют одинаковую температуру, то средние кинетические энергии молекул этих газов в системе центра масс равны.

Средняя кинетическая энергия молекул — это свойство только «температуры». А будучи свойством «температуры», а не газа, она может служить определением температуры. Средняя кинетическая энергия молекулы, таким образом, есть некото­рая функция температуры. Но кто нам подскажет, по какой шкале отсчитывать температуру? Мы можем сами определить шкалу температуры так, что средняя энергия будет пропор­циональна температуре. Лучше всего для этого назвать «тем­пературой» саму среднюю энергию. Это была бы самая простая функция, но, к несчастью, эту шкалу уже выбрали иначе и вместо того, чтобы назвать энергию молекулы просто «темпе­ратурой», используют постоянный множитель, связывающий среднюю энергию молекулы и градус абсолютной температу­ры, или градус Кельвина. Этот множитель: k=1,38·10-23 дж на каждый градус Кельвина. Таким образом, если абсо­лютная температура газа равна Т, то средняя кинетическая энергия молекулы равна 3/2kT (множитель 3/2 введен только для удобства, благодаря чему исчезнут множители в других формулах).

Заметим, что кинетическая энергия, связанная с состав­ляющей движения в любом направлении, равна только 1/2kТ. Три независимых направления движения доводят ее до 3/2kT.

§ 5. Закон идеального газа

Теперь можно подставить наше определение температуры в уравнение (39.9) и найти закон зависимости давления газа от температуры: произведение давления на объем равно про­изведению полного числа атомов на универсальную постоян­ную k и температуру:

PV=NkT. (39.22)

Следовательно, при одинаковых температуре, давлении и объеме число атомов строго определено — это тоже универ­сальная постоянная! Таким образом, из законов Ньютона следует, что в равных объемах любых газов при одинаковых температуре и давлении содержится равное число молекул. Вот какой неожиданный вывод!

На практике, когда имеешь дело с молекулами, приходится оперировать большими числами, поэтому химики произвольно выбрали число, очень большое число, и придумали ему специ­альное название. Они назвали его моль. Моль — это очень искусственное число. Почему химики не приняли за единицу 1024, чтобы вышло круглое число,— это вопрос исторический.

Случилось так, что они для удобства выбрали стандарт­ное число N0=6,02·1023 объектов и назвали это число молем объектов. После этого, вместо того чтобы измерять число молекул в штуках, они измеряют их в молях. Можно написать число молей (выражая их через N0) и умножить его на число атомов в моле, потом умножить на kT, а затем, если захотим, выделить произведение числа атомов в моле на k, тогда получит­ся молярное значение k; для этой величины выделим особую букву R. Молярное значение k равно 8,317 дж: R=N0k=8,317дж/молъ·°К-1. Таким образом мы нашли газовый закон, выраженный в виде произведения числа молей (его обозначают буквой N) на RT, или в виде произведения числа атомов на kT:

PV=NRT. (39.23)

Смысл тот же самый, только единицы измерения разные. В качестве единицы мы используем 1, а химики используют 6·1023!

Сделаем еще одно замечание по поводу газового закона; оно касается вещей более сложных, чем одноатомные молекулы. Пока мы имели дело только с движением одноатомного газа в центре масс. А что если при этом учесть действие сил? Рас­смотрим сначала случай, когда поршень удерживается гори­зонтально расположенной пружинкой, на которую действует сила. Взаимная встряска атомов и поршня в каждый данный момент, конечно, не зависит от положения поршня. Условия равновесия остаются прежними. Независимо от того, где на­ходится поршень, от него требуется только, чтобы скорость его движения была такой, чтобы он получал от молекул столь­ко же энергии, сколько отдавал им. Наличие пружинки не меняет дела. Скорость, с которой движется поршень, в среднем та же. Таким образом, наша теорема о том, что средняя кине­тическая энергия в одном направлении равна 1/2kT, справед­лива независимо от того, есть силы или их нет.

Рассмотрим, например, двухатомную молекулу, состав­ленную из атомов с массами mАи mB. Нам удалось доказать, что движение в центре масс части А и части В таково, что <1/2mAv2A>=<1/2mBv2B> = 3/2kT. Но как это может быть, если от­дельные части связаны друг с другом? Хотя они и связаны меж­ду собой, но обмен энергией при взаимных вращениях, изме­нении расстояния и соударениях с другими молекулами за­висит только от того, как быстро они движутся. Только этим определяется обмен энергией при соударениях. Сила в каждый отдельный момент не имеет никакого значения. Следовательно, даже если между отдельными частями молекулы действуют силы, верен тот же принцип.