Читать онлайн «2. Пространство. Время. Движение». Страница 23

Чтобы расширить наши сведения о математических свой­ствах векторов, нужно знать все правила их умножения, как векторного, так и скалярного. В настоящий момент нам нужны лишь очень немногие из них, однако в целях полноты мы выпи­шем все правила с участием векторного произведения. Впослед­ствии мы будем ими пользоваться. Эти правила таковы:

а) aX (b+c)=aXb+aXc,

б) (aa)Xb=a (aXb),

в) a· (bXc)=(aXb)·c, (20.10)

г) aX (bXc)=b(a·c)—c(a·b),

д) аXа=0,

е) а·(aXb)=0.

§ 2. Уравнения вращения в векторном виде

Возникает вопрос: можно ли с помощью векторного произ­ведения записать какое-нибудь уравнение физики? Да, конеч­но, с его помощью записываются очень многие уравнения. Сра­зу же видно, например, что момент силы равен векторному произведению радиус-вектора на силу

t=rXF. (20.11)

Это просто краткая запись трех уравнений: тx=yFz-zFyи т. д. С помощью того же символа можно представить момент количества движения одной частицы в виде векторного произ­ведения вектора расстояния от начала координат (радиус-вектора) на вектор импульса

L=rXp. (20.12)

Векторная форма динамического закона вращения в трехмер­ном пространстве напоминает уравнение Ньютона F=dp/dt; именно вектор момента силы равен скорости изменения со вре­менем вектора момента количества движения

t=dL/dt. (20.13)

Если мы сложим (20.13) для многих частиц, то получим, что внешний момент сил, действующий на систему, равен скорости изменения полного момента количества движения

Еще одна теорема: если полный момент внешних сил равен нулю, то вектор полного момента количества движения системы остается постоянным. Эта теорема называется законом сохране­ния момента количества движения. Если на данную систему не действуют никакие моменты сил, то ее момент количества дви­жения не изменяется.

А что можно сказать об угловой скорости? Вектор ли она? Мы уже рассматривали вращение твердого тела вокруг неко­торой фиксированной оси, а теперь давайте на минуту предпо­ложим, что оно одновременно вращается вокруг двух осей. Тело может находиться, например, в коробке и вращаться там вокруг некоторой оси, а сама коробка в свою очередь вращается вокруг какой-то другой оси. Результатом же такого сложного движения будет вращение тела вокруг некоторой новой оси. Самое удивительное здесь то, что эта новая ось может быть най­дена следующим образом. Если вращение в плоскости ху пред­ставить как вектор, направленный вдоль оси z, длина которого равна скорости вращения, а в виде другого вектора, направ­ленного вдоль оси y, изобразить скорость вращения в плоско­сти, то, сложив их по правилу параллелограмма, получим ре­зультат, величина которого говорит о скорости вращения тела, а направление определяет плоскость вращения. Попросту го­воря, угловая скорость в самом деле есть вектор, для которого скорость вращения в трех плоскостях представляет прямоуголь­ные проекции на эти плоскости.

В качестве простого примера с использованием вектора угло­вой скорости подсчитаем мощность, затрачиваемую моментом сил, действующим на твердое тело. Так как мощность — это скорость изменения работы со временем, то в трехмерном пространстве она оказывается равной Р=t·w.

Все формулы, которые мы писали для плоского вращения, могут быть обобщены на три измерения. Если взять, например, твердое тело, вращающееся вокруг некоторой оси с угловой скоростью w, то можно спросить: «Чему равна скорость точки с радиус-вектором r?» В качестве упражнения попытайтесь доказать, что скорость частицы твердого тела задается выражением v=wXr, где w — угловая скорость, а r — положение частицы. Другим примером векторного произведения служит формула для кориолисовой силы, которую можно записать как FK=2mvXw. Иначе говоря, если в системе координат, вращаю­щейся со скоростью w, частица движется со скоростью v и ми все хотим описать через величины этой вращающейся системы, то необходимо добавлять еще псевдосилу fk.

§ 3. Гироскоп

Вернемся теперь снова к закону сохранения момента коли­чества движения. Его можно продемонстрировать с помощью бы­стро вращающегося колеса, или гироскопа (фиг. 20.1).

Фиг. 20.1. Быстро вращающийся гироскоп.

а — ось направлена горизонтально, момент количества движения относитель­но вертикальной оси равен пулю; б — ось направлена вертикально, момент количества движения относительно вер­тикальной оси должен остаться равным нулю; человек и стул крутятся в направлении, противоположном вращению колеса.

Если стать на крутящийся стул и держать вращающееся колесо в го­ризонтальном положении, то его момент количества движения будет направлен горизонтально. Момент количества движения относительно вертикальной оси нельзя изменить из-за фикси­рованного направления оси стула (трением пренебрегаем). Если теперь повернуть ось с колесом вертикально, то колесо приобретет момент количества движения относительно верти­кальной оси. Однако система в целом (колесо, вы сами и стул) не может иметь вертикальной компоненты, поэтому вы вместе со стулом должны крутиться в направлении, обратном враще­нию колеса, чтобы скомпенсировать его.

Прежде всего давайте более подробно проанализируем явле­ние, которое мы только что описали. Самое удивительное, в чем нам следует разобраться, это откуда берутся силы, раскручива­ющие нас вместе со стулом, когда мы поворачиваем ось гиро­скопа вертикально. На фиг. 20.2 показано колесо, быстро вра­щающееся вокруг оси у, т. е. его угловая скорость направлена по этой оси.

Фиг. 20.2. Гироскоп.

В ту же сторону направлен и момент количества движения. Предположим теперь, что мы хотим вращать колесо относительно оси х с малой угловой скоростью W; какая сила для этого требуется? Через малый промежуток времени Dt ось займет новое положение, отклонившись от горизонтального положения на угол Dq. Поскольку основная часть момента ко­личества движения происходит от вращения колеса (медленное вращение вокруг оси х дает очень малый вклад), мы видим, что вектор момента количества движения изменяется. Каково же изменение этого вектора? Он остается тем же самым по величине, однако направление его меняется на угол Dq. Величина вектора DL поэтому равна DL=L0Dq; в результате возникает момент силы, равный скорости изменения момента количества движе­ния t=DL/Dt=L0(Dq/Dt)=L0W. Учитывая направление раз­личных величин, мы видим, что

t=WXL0. (20.15)

Таким образом, если W и l0 направлены горизонтально, как это показано на фигуре, то t направлен вертикально. Чтобы уравновесить такой момент, к концам оси в горизонтальном направлении должны быть приложены силы F и -F. Откуда берутся эти силы, кто их прикладывает? Да мы сами, собст­венными руками, когда стараемся повернуть ось колеса в вер­тикальное положение. Но Третий закон Ньютона требует, что­бы равные и противоположно направленные силы (и равный, но противоположно направленный момент) действовали на нас. Они и заставляют нас крутиться вокруг вертикальной оси z в противоположном направлении.

Этот результат можно обобщить на быстро вращающийся волчок. В обычном вращающемся волчке сила тяжести, дейст­вующая на его центр масс (ц.м.), создает момент относительно точки соприкосновения волчка с полом (фиг. 20.3).

Фиг. 20.3. Быстро вращающийся волчок.

Заметьте, что направление вектора момента силы совпадает с направле­нием прецессии.

Этот момент действует в горизонтальном направлении и заставляет волчок прецессировать, т. е. ось его будет описывать круговой конус вокруг вертикальной оси. Если W — угловая скорость прецес­сии (направленная вертикально), то мы снова находим

Таким образом, если к быстро вращающемуся волчку прило­жить момент сил, то возникнет прецессия в направлении этого момента, т. е. под прямым углом к силам, создающим момент.