Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Β«Π€Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Π½ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. ΠšΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ ΡΠ²ΠΎΠ»ΡŽΡ†ΠΈΠΈΒ». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 67

Автор Π’ΡƒΡ€Ρ‡ΠΈΠ½ Π€Ρ‘Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²ΠΈΡ‡

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

МР.p | p βŠƒ qqGN.p(x)(βˆ€ΞΎ)p(ΞΎ)

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π½Π°Π΄ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стоят посылки, Π° ΠΏΠΎΠ΄ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ β€” Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ (носящСС ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€Π°Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠΈ латинскоС Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ modus ponens) гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ посылки: высказываниС p ΠΈ высказываниС, ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· p слСдуСт q, Ρ‚ΠΎ Π² качСствС Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ высказываниС q. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ β€” ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ обобщСния (generalization) основано Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ΅ высказываниС p(x), содСрТащСС ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ…, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это высказываниС Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ любом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ этой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.

ЛогичСским Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ q ΠΈΠ· мноТСства Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» Π₯ (посылок) называСтся конСчная ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»

D = (d1, d2, ..., dn)

такая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ dn совпадаСт с q ΠΈ каТдая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° di, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΈΠ· мноТСства посылок X, Π»ΠΈΠ±ΠΎ логичСская аксиома, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» dj. Когда ΠΌΡ‹ рассматриваСм Π°ΠΊΡΠΈΠΎΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π² качСствС мноТСства Π₯ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСх аксиом Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π° логичСский Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ само стало Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠΌ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π° (ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ логичСских высказываний), вслСдствиС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ чисто синтаксичСского исслСдования Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² ΠΊΠ°ΠΊ свойств Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ языковой ΠΌΠ°ΡˆΠΈΠ½Ρ‹. На эту Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π» Π”. Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ (1862–1943), ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ XX Π²., ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ вмСстС со своими ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» основы Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ направлСния. Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ Π²Π²Π΅Π» понятиС мСтаязыка ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π» Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΉ. Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ мСтасистСма, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ (ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сСйчас являСтся общСпринятым), Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ обобщСния Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚Π°. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ исслСдованию матСматичСскими срСдствами матСматичСских Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π² – яркий ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½ΠΎΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π½ΠΎΠ³ΠΎ мСтасистСмного ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π°.

Основная Ρ†Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ прСслСдовала ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°, намСчСнная Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΌ, это Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ нСпротиворСчивости Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… систСм аксиом. БистСма аксиом называСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²ΠΎΠΉ, Ссли ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ q ΠΈ Π΅Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ Β¬q. Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли сущСствуСт хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° такая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, Ρ‚. Π΅. Ссли тСория ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ²Π°, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ для аксиоматичСской Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вопрос ΠΎ нСпротиворСчивости систСмы аксиом, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ½Π° основана, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ большоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ вопрос допускаСт чисто ΡΠΈΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΡƒ: ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» (Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ²), дСйствуя ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚? Из Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ постановки вопроса ΠΈ исходил Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚; Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ оказалось, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ свойства Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтаксичСскими ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ. На этом ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΈ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ², Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ Π½Π΅Π³Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π°; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ здСсь Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΎΡΡ‚Π°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ.

12.11. Ѐормализация Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ совокупности, ΠΈΠ»ΠΈ мноТСства, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊ числу Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… понятий, Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠΉ, ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ числа. Π’ своСм ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ диффСрСнцируСтся Π½Π° понятиС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ бСсконСчного мноТСств, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, эта диффСрСнциация появляСтся вСсьма Ρ€Π°Π½ΠΎ; Π²ΠΎ всяком случаС, Π² Π΄Ρ€Π΅Π²Π½Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… ΠΏΠΈΡΡŒΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… памятниках ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ понятиС ΠΎ бСсконСчности ΠΈ бСсконСчном мноТСствС. Π­Ρ‚ΠΎ понятиС использовалось Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ испокон Π²Π΅ΠΊΠΎΠ², ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°ΡΡΡŒ чисто ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΈ само собой Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ, ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π°ΡΡΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π“Π΅ΠΎΡ€Π³ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ (1845–1918) Π½Π΅ создал Π² 70-Ρ… Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ… свою Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ мноТСств, которая вскорС Π»Π΅Π³Π»Π° Π² основу всСй ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ мноТСства (ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ бСсконСчного) остаСтся Ρƒ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ½ опрСдСляСт Π΅Π³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: «Под мноТСством ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ объСдинСниС Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ², Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΌΡ‹Ρ… нашСй ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΈ нашСй ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒΡŽΒ». Π­Ρ‚ΠΎ Β«ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» являСтся, ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ, Π½Π΅ Π² большСй стСпСни матСматичСским ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌ Β«ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅Β» Π•Π²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄Π° Β«Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ частСй». Но, нСсмотря Π½Π° ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΈΠ΅ исходныС ΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ, ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ (ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ-Ρ‚Π°ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ грСчСским Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌ) создал ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΡƒΡŽ ΠΈ логичСски ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΠΌΡƒ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ привСсти Π² Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ порядок основныС понятия ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°. (Β«ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡ€Π°Π·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, β€” ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ Н. Π‘ΡƒΡ€Π±Π°ΠΊΠΈ, β€” ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ постСпСнно ΠΏΡ€ΠΈΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π°ΡŽΡ‚ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ понятия, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅, казалось, Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π±Π΅Π·Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Ρ‹ Π² классичСской ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΠΈΠ½ΡƒΡƒΠΌΠ°Β».) Π‘ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ мноТСств ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ создания Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… понятий β€” конструктов ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° ΠΈΡ… свойств. Π’Π°ΠΊ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π΅ΡΡ‚ΡŒ мноТСство всСх ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»; ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ прямой β€” мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл; функция β€” мноТСство ΠΏΠ°Ρ€ (x, f), Π³Π΄Π΅ Ρ… ΠΈ f β€” Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

К ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ XIX Π². тСория мноТСств ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ СстСствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ сочСтаСтся с аксиоматичСским ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ. Но Ρ‚ΡƒΡ‚ разраТаСтся Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹ΠΉ «кризис основ» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… дСсятилСтий. Π’ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠ΅Π½Ρ‹ «парадоксы», Ρ‚. Π΅. построСния, приводящиС ΠΊ противорСчиям. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ парадокс ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ» Π‘ΡƒΡ€Π°Π»ΠΈ-Π€ΠΎΡ€Ρ‚ΠΈ Π² 1897 Π³., Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ появилось Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько. ΠœΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° парадокс РассСла (1905 Π³.), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ лишь Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ понятия Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств ΠΈ Π½Π΅ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Ρ Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ матСматичСской строгости. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π΄ΠΎΠΊΡ этот Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ². ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ M ΠΊΠ°ΠΊ мноТСство всСх Ρ‚Π΅Ρ… мноТСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ содСрТат сСбя Π² качСствС элСмСнта. Казалось Π±Ρ‹, это ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΠΎ, ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ мноТСств ΠΈΠ· мноТСств β€” ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· основ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π°. ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΡŽ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ясным, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π (Ρ…) свойство мноТСства Ρ… Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ элСмСнтом самого сСбя. Π’ символичСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅

P(x) ≑ x ∈ x. (12.1)

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ мноТСства М всС Π΅Π³ΠΎ элСмСнты Ρ… ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ свойством, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π (Ρ…):

x ∈ M ≑ Β¬P(x). (12.2)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ поставим вопрос: являСтся Π»ΠΈ само мноТСство M своим элСмСнтом, Ρ‚. Π΅. истинно Π»ΠΈ P(M)? Если P(M) истинно, Ρ‚ΠΎ M ∈ M, согласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ (12.1). Но Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС, подставляя M вмСсто Ρ… Π² ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (12.2), ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Β¬P(M). Если M Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² мноТСство M, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ послСднСго ΠΎΠ½ΠΎ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ свойством P. И Π½Π°ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ², Ссли P(M) Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚. Π΅. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто P(M), Ρ‚ΠΎ согласно (12.2) М Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² M, Ρ‚. Π΅. Π (М) истинно. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, P(M) Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΠΈ истинным, Π½ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ. Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ Π΄Π²Π΅ ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ:

P(M) βŠƒ Β¬P(M), Β¬P(M) βŠƒ P(M).

Если Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠΏΠ»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ свойством Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ A ∨ A ≑ A, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ высказываниС прСвратится Π² Β¬P(M), Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ β€” Π² P(M). ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΈΠ· Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ вывСсти Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π΄ΠΎΠΊΡΡ‹ создали ΡƒΠ³Ρ€ΠΎΠ·Ρƒ для Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств ΠΈ основанного Π½Π° Π½Π΅ΠΉ матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°; Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»ΠΎ нСсколько философско-матСматичСских Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π²ΡˆΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΈΠ· Ρ‚ΡƒΠΏΠΈΠΊΠ°. НаиболСС Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π΅ с Брауэром, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠ΅Π΅ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΠ·ΠΌΠ°, ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€Π°, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСсмотра Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ. Π˜Π½Ρ‚ΡƒΠΈΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡΡ‚ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° оказалась довольно слоТной ΠΈ с Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΡŽ, Π° ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ классичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈ этом выбрасывался Π½Π° свалку, такая позиция Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π° Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ»Π΅ΠΌΠΎΠΉ для Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ². «Никто Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ·Π³Π½Π°Ρ‚ΡŒ нас ΠΈΠ· рая, созданного для нас ΠšΠ°Π½Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΒ», β€” заявил Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚, ΠΈ ΠΎΠ½ нашСл Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ сохранил основноС содСрТаниС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя устранил парадоксы ΠΈ противорСчия. ВмСстС со своими послСдоватСлями Π“ΠΈΠ»ΡŒΠ±Π΅Ρ€Ρ‚ сформировал Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ русло, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ матСматичСской мысли.