Читать онлайн «Большая Советская Энциклопедия (ФУ)». Страница 18

  Одним из простейших Ф. у. является уравнение f (x + у ) = f (x ) + f (y ). Непрерывные решения этого Ф. у. имеют вид f (x ) = Cx . Однако в классе разрывных функций это Ф. у. имеет и иные решения. С рассмотренным Ф. у. связаны

f (x + у ) = f (x ) f (y ), f (xy ) — f (x ) + f (y ),

f (xy ) = f (x ) f (y ),

непрерывные решения которых имеют соответственно вид eCx , C lnx , x a (x > 0). Т. о., эти Ф. у. могут служить для определения показательной, логарифмической и степенной функций.

  В теории аналитических функций Ф. у. часто применяются для введения новых классов функций. Например, двоякопериодические функции характеризуются Ф. у. f (z + а ) = f (z ) и f (z + b ) = f (z ), автоморфные функции — Ф. у. f (s a z ) = f (z ), где {s a } — некоторая группа дробно-линейных преобразований. Если функция известна в некоторой области, то знание для неё Ф. у. позволяет расширить область определения этой функции. Например, Ф. у . f (x + 1) = f (x ) для периодических функций позволяет определить их значение в любой точке по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто пользуются для аналитического продолжения функций комплексного переменного. Например, пользуясь Ф. у. Г (z + 1) = z Г (z ) и зная значения функции Г (z ) (см. Гамма-функция ) в полосе 0 £ Rez £ 1, можно продолжить её на всю плоскость z .

  Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются Ф. у., которым должно удовлетворять решение данной задачи. Значение соответствующих Ф. у. во многих случаях облегчает нахождение решений.

  Решения Ф. у. могут быть как конкретными функциями, так и классами функций, зависящими от произвольных параметров или произвольных функций. Для некоторых Ф. у. общее решение может быть найдено, если известны одно или несколько его частных решений. Например, общее решение Ф. у. f (x ) = f (ax ) имеет вид j[w(x )], где j(x ) — произвольная функция, а w(x ) — частное решение этого Ф. у. Для решения Ф. у. их во многих случаях сводят к дифференциальным уравнениям. Этот метод даёт лишь решения, принадлежащие классу дифференцируемых функций.

  Другим методом решения Ф. у. является метод итераций . Этот метод даёт, например, решение уравнения Абеля f [a(x )] = f (x ) + 1 [где a(x ) — заданная функция] и связанного с ним уравнения Шрёдера f [a(x )] = cf (x ). А. Н. Коркин доказал, что если a(х ) — аналитическая функция, то уравнение Абеля имеет аналитическое решение. Эти результаты, нашедшие применение в теории групп Ли (см. Непрерывные группы ), привели в дальнейшем к созданию теории итераций аналитических функций. В некоторых случаях уравнение Абеля решается в конечном виде. Например, Ф. у. f (xn ) = f (x ) + 1 имеет частное решение .

  Лит.: Ацель Я., Некоторые общие методы в теории функциональных уравнений одной переменной. Новые применения функциональных уравнений, «Успехи математических наук», 1956, т. 11, в. 3, с. 3—68.

«Функциона'льный ана'лиз и его' приложе'ния», научный журнал Отделения математики АН СССР, публикующий оригинальные работы по актуальным вопросам функционального анализа и его приложений, а также информационные материалы. Издаётся в Москве с 1967. Ежегодно выходит 1 том, состоящий из 4 выпусков. Тираж (1977) около 1500 экз.

Функциона'льный ана'лиз, часть современной математики, главной задачей которой является изучение бесконечномерных пространств и их отображений. Наиболее изучены линейные пространства и линейные отображения. Для Ф. а. характерно сочетание методов классического анализа, топологии и алгебры. Абстрагируясь от конкретных ситуаций, удаётся выделить аксиомы и на их основе построить теории, включающие в себя классические задачи как частный случай и дающие возможность решать новые задачи. Сам процесс абстрагирования имеет самостоятельное значение, проясняя ситуацию, отбрасывая лишнее и открывая неожиданные связи. В результате удаётся глубже проникнуть в сущность математических понятий и проложить новые пути исследования.

  Развитие Ф. а. происходило параллельно с развитием современной теоретической физики, при этом выяснилось, что язык Ф. а. наиболее адекватно отражает закономерности квантовой механики, квантовой теории поля и т.п. В свою очередь эти физические теории оказали существенное влияние на проблематику и методы Ф. а.

  1. Возникновение функционального анализа. Ф. а. как самостоятельный раздел математики сложился на рубеже 19 и 20 вв. Большую роль в формировании общих понятий Ф. а. сыграла созданная Г. Кантором теория множеств. Развитие этой теории, а также аксиоматической геометрии привело к возникновению в работах М. Фреше и Ф. Хаусдорфа метрической и более общей т. н. теоретико-множественной топологии, изучающей абстрактные пространства, т. е. множества произвольных элементов, для которых установлено тем или иным способом понятие близости.

  Среди абстрактных пространств для математического анализа и Ф. а. оказались важными функциональные пространства (т. е. пространства, элементами которых являются функции — откуда и название «Ф. а.»). В работах Д. Гильберта по углублению теории интегральных уравнений возникли пространства l2 и L2 (a , b ) (см. ниже). Обобщая эти пространства, Ф. Рис изучил пространства lp и Lp (a , b ), а С. Банах в 1922 выделил полные линейные нормированные пространства (банаховы пространства). В 1930—40-х гг. в работах Т. Карлемана , Ф. Риса, американских математиков М. Стоуна и Дж. Неймана была построена абстрактная теория самосопряжённых операторов в гильбертовом пространстве.

  В СССР первые исследования по Ф. а. появились в 30-х гг.: работы

А. Н. Колмогорова (1934) по теории линейных топологических пространств;

Н. Н. Боголюбова (1936) по инвариантным мерам в динамических системах;

Л. В. Канторовича (1937) и его учеников по теории полуупорядоченных пространств, применениям Ф. а. к вычислительной математике и др.; М. Г. Крейна и его учеников (1938) по углублённому изучению геометрии банаховых пространств, выпуклых множеств и конусов в них, теории операторов и связей с различными проблемами классического математического анализа и др.; И. М. Гельфанда и его учеников (1940) по теории нормированных колец (банаховых алгебр) и др.

  Для современного этапа развития Ф. а. характерно усиление связей с теоретической физикой, а также с различными разделами классического анализа и алгебры, например теорией функций многих комплексных переменных, теорией дифференциальных уравнений с частными производными и т.п.

  2. Понятие пространства. Наиболее общими пространствами, фигурирующими в Ф. а., являются линейные (векторные) топологические пространства, т. е. линейные пространства Х над полем комплексных чисел  (или действительных чисел ), которые одновременно и топологические, причём линейные операции непрерывны в рассматриваемой топологии. Более частная, но очень важная ситуация возникает, когда в линейном пространстве Х можно ввести норму (длину) векторов, свойства которой являются обобщением свойств длины векторов в обычном евклидовом пространстве. Именно, нормой элемента x Î Х называется действительное число ||x || такое, что всегда ||x || ³ 0 и ||x || = 0 тогда и только тогда, когда x = 0;