Читать онлайн «Большая Советская Энциклопедия (ЭЛ)». Страница 109

  Соответственно предмету Э. г. ограничены и её методы; они заведомо исключают пользование общими понятиями любой фигуры, переменной, функции, исключают ссылки на общие теоремы теории пределов и т. п. Основной метод Э. г. — это вывод теорем путём наглядного рассуждения, основанного либо на исходных посылках — аксиомах, либо на уже известных теоремах Э. г., с применением того или иного вспомогательного построения, не употребляющего общих понятий кривой, тела и др. (например, «продолжим отрезок AB », «разделим угол А пополам»). Привлекаемые в Э. г. вычислительные средства из алгебры и тригонометрии допускают, по существу, сведение к таким построениям. Понятие предела не исключается из Э. г., поскольку оно фигурирует в теоремах о длине окружности, поверхности шара и др., бесспорно включаемых в Э. г. Однако в каждом таком случае речь идет о конкретной последовательности, заданной элементарно-геометрическим построением, и приближении к пределу устанавливается непосредственно, без ссылок на общую теорию пределов. Примером может служить определение длины окружности посредством рассмотрения последовательности вписанных и описанных правильных многоугольников. Подобный прием в принципе возможен для любой данной кривой, но для произвольной кривой вообще ничего подобного сделать нельзя, поскольку «кривая вообще» не задана конкретно. Стало быть, разница между Э. г., вообще элементарной математикой и высшей состоит скорее не в том, что во второй применяется понятие предела, а в первой — нет, а в степени общности этого понятия. Соответственно определению метода Э. г. та или иная теория может принадлежать Э. г. по формулировке, но не по доказательству. Примером может служить теорема Минковского о существовании выпуклого многогранника с данными направлениями и площадями граней (точную формулировку см. в ст. Многогранник ), эта теорема элементарна по формулировке, но известные ее доказательства не элементарны, т. к. используют общие теоремы анализа либо даже топологии.

  Коротко можно сказать, что Э. г. включает те вопросы геометрии, которые в своей постановке и решении не включают общей концепции бесконечного множества, но лишь конструктивно определённые множества (геометрические места). Когда говорят, что евклидова геометрия основана, скажем, на системе аксиом Гильберта или на иной, близкой по характеру системе аксиом то забывают что при введении общих понятий кривой выпуклого тела длины и др. фактически используют способы образования понятий, вовсе не предусмотренные в аксиомах, а опирающиеся на общую концепцию множества, последовательности и предела, отображения или функций. То, что выводится из аксиом Гильберта без таких добавлений, и составляет элементарную часть евклидовой геометрии. Это разграничение можно уточнить в терминах математической логики. Вместе с тем, соответственно такому пониманию Э. г., можно говорить об Э. г. n -мерного евклидова пространства, о Э. г. Лобачевского и др. При этом имеются в виду те разделы, теоремы и выводы этих геометрических теорий, которые характеризуются теми же чертами.

  Лит.: Начала Евклида, пер. с греч., кн. 1—15, М. — Л., 1948—50; Адамар Ж., Элементарная геометрия пер. с фр., ч. 1, 4 изд., М., 1958; Погорелов А. В., Элементарная геометрия, 2 изд., М., 1974; История математики с древнейших времен до начала XIX столетия, т. 1—3, М., 1970—72.

Элемента'рная длина', то же, что фундаментальная длина .

Элемента'рная матема'тика, несколько неопределённое понятие, охватывающее совокупность таких разделов, задач и методов математики, в которых пользуются общими понятиями переменной функции предела и т п. Иначе говоря Э. м. пользуется теми общими понятиями (абстракциями), которые сложились до появления математического анализа; хотя Э. м. продолжает развиваться и теперь и в ней появляются новые результаты, всё же это происходит в рамках тех же понятий (см. ст. Математика раздел II. История математики до 19 в., пункт 2 — Период элементарной математики).

  Э. м. охватывает в основном арифметику и т. н. элементарную теорию чисел, элементарную алгебру, элементарную геометрию, тригонометрию. Коротко Э. м. можно характеризовать как «математику постоянных величин» Это однако не совсем точно, т. к. в Э. м. рассматривают не только постоянные величины, но и геометрические фигуры (не обязательно интересуясь их величиной, например расположением), и не только постоянные, но и переменные величины, например тригонометрические функции. Здесь речь идет о некоторых (конкретно определенных) функциях. Точно также, например, при определении длины окружности пользуются по существу понятием предела, но не в общем виде, а лишь для конкретно определенной последовательности (периметров вписанных и описанных многоугольников). Общие же понятия функции и предела, так же как и общие понятия кривой, поверхности, фигуры вообще не заданной каким-либо конкретным построением, заведомо выходят за пределы Э. м. Например, в теории чисел отличают элементарные доказательства, в которых обходятся без методов математического анализа. Кстати, эта «элементарная теория чисел» вовсе не является элементарной в смысле простоты

  Э. м. в противоположность высшей математике понимают ещё просто как совокупность математических дисциплин, изучаемых в средней общеобразовательной школе.

Элемента'рная нить, одиночная нить, не делящаяся в продольном направлении без разрушения. Является составной частью текстильных комплексных нитей. К Э. м. относятся химические нити различного вида, а также шелковина (одна из двух нитей, составляющих коконную нить). См. также Волокна текстильные .

Элемента'рная опера'ция, микрооперация, в вычислительной технике, элементарное машинное действие, не содержащее др. более простых действий, обозначенных в языке ЦВМ. Реализация каждой команды ЦВМ состоит из последовательного выполнения некоторого количества операций , в том числе таких Э. о., как установка регистра в нулевое положение, запись нуля в ячейки памяти, сдвиг влево или вправо на 1 разряд кода в регистре, передача информации между регистрами и др., а также сравнение кодов, логическое сложение и умножение и т. д. Набор Э. о. должен обеспечивать алгоритм выполнения любой системы команд ЦВМ. Э. о. могут объединяться в группы, на основе которых организуется микропрограммное управление ЦВМ.

Элемента'рная тео'рия му'зыки, первоначальный учебный музыкально-теоретический курс, преподаваемый в музыкальных школах и включающий нотную грамоту, основные сведения о важнейших элементах музыки, средствах музыкальной выразительности (музыкальные звуки, интервалы, аккорды, лад, метр, ритм, темп, динамика и др.).

  Лит.: Способин И, В., Элементарная теория музыки. М., 1954.

Элемента'рная яче'йка кристалла, минимальный объём кристалла, параллельные переносы (трансляции) которого в трёх измерениях позволяют построить всю кристаллическую решётку. Выбор Э. я. может быть произведён различными способами.

Элемента'рное волокно', одиночное волокно текстильное , не делящееся в продольном направлении без разрушения и пригодное для изготовления пряжи и текстильных изделий.

Элемента'рные дели'тели квадратной матрицы А = ||aiK ||1 n , степени двучленов

(l — l1 ) p 1 , (l — l2 ) p 2 ,..., (l — ls ) ps ,

которые получаются из характеристического уравнения

следующим образом. Миноры k-го порядка определителя D(l) (для k £ п ) представляют собой многочлены относительно l. Пусть Dk (l) (k = 1, 2,..., n ) - наибольший общий делитель всех этих многочленов, Dn (l) = D(l). В ряду каждый многочлен делится на предыдущий без остатка. Если разложить соответствующие частные на линейные множители в поле комплексных чисел:

.............................……………………………..,

то степени ,..., ,... и образуют полную систему Э. д. матрицы А (при этом степени с нулевыми показателями не принимаются во внимание). Произведение всех Э. д. равно характеристическому многочлену. Э. д. определяют нормальную (жорданову) форму матрицы А.