Читать онлайн «Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике». Страница 7

Если уравнение модели содержит две экономические переменные – эндогенную yiи предопределенную xi, то модель имеет вид:

Данная модель называется моделью линейной парной регрессии и содержит три неизвестных параметра:

β0 , β1 , σ. (3)

Предположим, что имеется выборка: (х1, y1), (х2, y2),… (хn , yn) (4)

Тогда в рамках исследуемой  модели данные величины связаны следующим образом:

y1 = a0 + a1 * x1 + u1,

y2 = a0 + a1 * x2 + u2, (5)

…

yn= a0 + a1 * x n + u n.

Данная система называется системой уравнений наблюдения объекта в рамках исследуемой линейной модели или схемой Гаусса-Маркова.

Компактная запись схемы Гаусса-Маркова:

где

– вектор-столбец известных значений эндогенной переменной yiмодели регрессии;

– вектор-столбец неизвестных значений случайных возмущений εi;

– матрица известных значений предопределенной переменной xi модели;

β = (β0  β1 )Т (10) – вектор неизвестных коэффициентов модели регрессии.

Обозначим оценку вектора неизвестных коэффициентов модели регрессии как

Данная оценка вычисляется на основании выборочных данных (7) и (9) с помощью некоторой процедуры:

где P (X, ỹ) – символ процедуры.

Процедура (12) называется линейной относительно вектора (7) значений эндогенной переменной yi, если выполняется условие:

где

(14) – матрица коэффициентов, зависящих только от выборочных значений (9) предопределенной переменной хi.

Теорема Гаусса-Маркова. Пусть матрица Х коэффициентов уравнений наблюдений (6) имеет полный ранг, а случайные возмущения (8) удовлетворяют четырем условиям:

E(ε1) = E(ε2) = … = E(εn) = 0, (15)

Var(ε1) = Var(ε2) = … = Var(εn) =  σ2(16)

Cov(εi, εj) = 0 при i≠j(17)

Cov(xi,εj) = 0 при всех значениях i и j (18)

В этом случае справедливы следующие утверждения:

а) наилучшая линейная процедура (13), приводящая к несмещенной и эффективной оценке (11), имеет вид:

б) линейная несмещенная эффективная оценка (19) обладает свойством наименьших квадратов:

в) ковариационная матрица оценки (19) вычисляется по правилу:

г) несмещенная оценка параметра σ2 модели (2) находится по формуле:

Следствие теоремы Гаусса-Маркова. Оценка

доставляемая процедурой (19) метода наименьших квадратов, может быть вычислена в процессе решения системы двух линейных алгебраических уравнений:

Данная система называется системой нормальных уравнений. Ее коэффициенты и свободные члены определяются по правилам:

[x] = x1 + x2 +…+ xn,

[y] = y1 + y2 +…+ yn, (24)

x2] = x12 + x22 +…+ xn2,

[xy] = x1*y1 + x2*y2 + … + xn*yn.

Явный вид решения системы (23):

Предположим, что в ходе регрессионного анализа была установлена линейная взаимосвязь между исследуемыми переменными х и у, которая описывается моделью регрессии вида:

В результате оценивания данной эконометрической модели определяются оценки неизвестных коэффициентов. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров β0 и β1, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) ỹ минимальна:

В процессе минимизации функции (1) неизвестными являются только значения коэффициентов β0 и β1, потому что значения результативной и факторной переменных известны из наблюдений. Для определения минимума функции двух переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений для функции (2):

.

Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему нормальных уравнений для функции регрессии вида yi=β0+β1xi:

Если решить данную систему нормальных уравнений, то мы получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии β0 и β1:

где

– среднее значение зависимой переменной;

– среднее значение независимой переменной;

– среднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных;

– дисперсия независимой переменной;

Gcov (x, y) – ковариация между зависимой и независимой переменными.

Таким образом, явный вид решения системы нормальных уравнений может быть записан следующим образом:

Помимо метода наименьших квадратов, с помощью которого в большинстве случаев определяются неизвестные параметры модели регрессии, в случае линейной модели парной регрессии осуществим иной подход к решению данной проблемы.

Линейная модель парной регрессии может быть записана в виде:

где у – значения зависимой переменной;

х – значения независимой переменной;

– среднее значение зависимой переменной, которое определяется на основании выборочных данных вычисленное по формуле средней арифметической:

уi– значения зависимой переменной,

n – объём выборки;

– среднее значение независимой переменной, которое определяется на основании выборочных данных вычисленное по формуле средней арифметической:

Параметр βyx называется выборочным коэффициентом регрессии переменной у по переменной х. Данный параметр показывает, на сколько в среднем изменится зависимая переменная у при изменении независимой переменной х на единицу своего измерения.

Выборочный коэффициент регрессии переменной у по переменной х рассчитывается по формуле:

где ryx – это выборочный парный коэффициент корреляции между переменными у и х, который рассчитывается по формуле:

– среднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных:

Sy – показатель выборочного среднеквадратического отклонения зависимой переменной у. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения зависимой переменной у от её среднего значения. Он рассчитывается по формуле:

– среднее значение из квадратов значений зависимой переменной у:

– квадрат средних значений зависимой переменной у:

Sx – показатель выборочного среднеквадратического отклонения независимой переменной х. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения независимой переменной х от её среднего значения. Они рассчитывается по формуле:

– среднее значение из квадратов значений независимой переменной х:

– квадрат средних значений независимой переменной х:

При использовании рассмотренного подхода оценивания неизвестных параметров линейной модели парной регрессии, следует учитывать что ryx=rxy, однако βyx≠βxy.

При проведении регрессионного анализа основная трудность заключается в том, что генеральная дисперсия случайной ошибки является неизвестной величиной, что вызывает необходимость в расчёте её несмещённой выборочной оценки.

Несмещённой оценкой дисперсии (или исправленной дисперсией) случайной ошибки линейной модели парной регрессии называется величина, рассчитываемая по формуле:

где n – это объём выборочной совокупности;

еi– остатки регрессионной модели:

Для линейной модели множественной регрессии несмещённая оценка дисперсии случайной ошибки рассчитывается по формуле: