Читать онлайн «Курс общей астрономии». Страница 62

§ 40. Законы Кеплера

Кеплер был сторонником учения Коперника и поставил перед собой задачу усовершенствовать его систему по наблюдениям Марса, которые на протяжении двадцати лет производил датский астроном Тихо Браге (1546-1601) и в течение нескольких лет - сам Кеплер. Вначале Кеплер разделял традиционное убеждение, что небесные тела могут двигаться только по кругам, и поэтому он потратил много времени на то, чтобы подобрать для Марса круговую орбиту. После многолетних и очень трудоемких вычислений, отказавшись от общего заблуждения о кругообразности движений, Кеплер открыл три закона планетных движений, которые в настоящее время формулируются следующим образом: 1. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых (общем для всех планет) находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты в равные промежутки времени описывает равновеликие площади. 3. Квадраты сидерических периодов обращений планет вокруг Солнца пропорциональны кубам больших полуосей их эллиптических орбит. Как известно, у эллипса сумма расстояний от какой-либо его точки до двух неподвижных точек f1 и f2, лежащих на его оси АП и называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси АП (рис. 27). Расстояние ПО (или ОA), где О - центр эллипса, называется большой полуосью а, а отношение эксцентриситетом эллипса. Последний характеризует отклонение эллипса от окружности, у которой е = 0. Орбиты планет мало отличаются от окружностей, т.е. их эксцентриситеты невелики. Наименьший эксцентриситет имеет орбита Венеры (е = 0,007), наибольший - орбита Плутона (е = 0,247). Эксцентриситет земной орбиты е = 0,017. Согласно первому закону Кеплера Солнце находится в одном из фокусов эллиптической орбиты планеты. Пусть на рис. 27, а это будет фокус f1 (С Солнце). Тогда наиболее близкая к Солнцу точка орбиты П называется перигелием, а наиболее удаленная от Солнца точка A - афелием. Большая ось орбиты АП называется линией апсид, а линия f2P, соединяющая Солнце и планету Р на ее орбите, радиусом-вектором планеты. Расстояние планеты от Солнца в перигелии

q = а (1 - е),(2.3)

в афелии

Q = a (l + e).(2.4)

За среднее расстояние планеты от Солнца принимается большая полуось орбиты Согласно второму закону Кеплера площадь СР1Р2 , описанная радиусом-вектором планеты за время Dt вблизи перигелия, равна площади СР3Р4 , описанной им за то же время Dt вблизи афелия (рис. 27, б). Так как дуга Р1Р2 больше дуги Р3Р4 , то, следовательно, планета вблизи перигелия имеет скорость большую, чем вблизи афелия. Иными словами, ее движение вокруг Солнца неравномерно. Скорость движения планеты в перигелии

(2.5)

в афелии

(2.6)

где vc - средняя или круговая скорость планеты при r = а. Круговая скорость Земли равна 29,78 км/сек " 29,8 км/сек.

Первый и второй законы Кеплера показывают, что третье и четвертое утверждения Коперника (см. § 36) неверны. Третий закон Кеплера записывается так:

(2.7)

где Т1 и T2 - сидерические периоды обращений планет, а1 и a2 - большие полуоси их орбит. Если большие полуоси орбит планет выражать в единицах среднего расстояния Земли от Солнца (в астрономических единицах), а периоды обращений планет - в годах, то для Земли а =1 и Т = 1 и период обращения вокруг Солнца любой планеты

(2.8)

Третий закон Кеплера устанавливает зависимость между расстояниями планет от Солнца и периодами их обращения.

§ 41. Элементы орбит планет. Основные задачи теоретической астрономии

Движение планеты будет вполне определено, если известны плоскость, в которой лежит ее орбита, размеры и форма этой орбиты, ее ориентировка в плоскости и, наконец, момент времени, в который планета находится в определенной точке орбиты. Величины, определяющие орбиты планеты, называются элементами ее орбиты. За основную плоскость, относительно которой определяется положение орбиты, принимается плоскость эклиптики. Две точки, в которых орбита планеты пересекается с плоскостью эклиптики, называются узлами - восходящим и нисходящим. Восходящий узел тот, в котором планета пересекает эклиптику, удаляясь от ее южного полюса. Эллиптическую орбиту планеты определяют следующие 6 элементов (рис. 28): 1. Наклонение i плоскости орбиты к плоскости эклиптики. Наклонение может иметь любые значения между 0 и 180°. Если 0 £ i < 90°, то планета движется вокруг Солнца (С) в том же направлении, что и Земля (прямое движение); если 90° < i < 180°, то планета движется в противоположном направлении (обратное движение).

2. Долгота (гелиоцентрическая) восходящего узла <, т.е. угол между направлениями из центра Солнца на восходящий узел и на точку весеннего равноденствия. Долгота восходящего узла может иметь любые значения от 0 до 360°. Долгота восходящего узла < и наклонение i определяют положение плоскости орбиты в пространстве. 3. Угловое расстояние w перигелия от узла, т.е. угол между направлениями из центра Солнца на восходящий узел <, и на перигелий П. Он отсчитывается в плоскости орбиты планеты в направлении ее движения и может иметь любые значения от 0 до 360°. Угловое расстояние перигелия w определяет положение орбиты в ее плоскости. (Иногда вместо w дается долгота перигелия p = < + w) 4. Большая полуось а эллиптической орбиты, которая однозначно определяет сидерический период обращения Т планеты. Часто одновременно с ней дается в качестве элемента среднее суточное движение п = 360° / T = 2p / T, т.е. средняя угловая скорость планеты за сутки. 5. Эксцентриситет орбиты где а и b - полуоси эллиптической орбиты. Большая полуось а и эксцентриситет е определяют размеры и форму орбиты. 6. Момент прохождения через перигелий t0 , или положение планеты на орбите в какой-нибудь определенный момент времени t (долгота в эпоху t). Зная момент прохождения через перигелий t0 и другие элементы орбиты, можно определить положение планеты в плоскости ее орбиты для любого момента времени t.

Положение планеты на орбите определяется двумя величинами: радиусом-вектором r и истинной аномалией q. Истинной аномалией планеты называется угол ПСР (рис. 29) между направлением из Солнца (С) на перигелий П и радиусом-вектором планеты Р. Радиус-вектор r и истинная аномалия q вычисляются по формулам

r = a (1 - e cos E),(2.9)

(2.10)

где Е = Ð ПON и называется эксцентрической аномалией. Эксцентрическая аномалия Е вычисляется из уравнения Кеплера

M = E - e sin E,(2.11)

где М - угол, называемый средней аномалией. Средняя аномалия представляет собой дугу круга, которую описала бы планета за время (t-t0), если бы она двигалась равномерно по окружности радиуса а со средней угловой скоростью п, т.е.

(2.12)

Вычисление положения планеты на орбите для некоторого момента времени t проводится в следующей последовательности: 1) по формуле (2.12), в которой известны Т и (t - t0), определяют среднюю аномалию М; 2) по формуле (2.11), при известных е и М, методом последовательных приближений находят эксцентрическую аномалию Е; 3) по формулам (2.9) и (2.10) вычисляют радиус-вектор r и истинную аномалию q . Определив положение планеты на орбите для заданных моментов времени, можно вычислить для этих же моментов ее пространственные гелиоцентрические координаты. Зная же элементы орбиты Земли и вычислив для тех же моментов положение Земли на ее орбите, можно определить геоцентрические координаты планеты и найти ее расстояние от центра Земли. Определение видимых координат планеты по элементам их орбит называется вычислением эфемерид, т.е. таблиц, в которых положения планет даются на любые избранные моменты времени (иногда на много лет вперед). Обратная задача, т.е. определение элементов орбит по наблюденным координатам, называется определением орбит. Эта задача гораздо труднее вычисления эфемерид. Кеплер решил ее для тех планет, которые наблюдаются уже давно. Методы же определения орбит по нескольким (не менее 3-х) наблюдениям, что особенно важно при открытии новых планет и комет, были разработаны лишь в начале XIX в. Вычисление эфемерид и определение орбит - основные задачи теоретической астрономии.

§ 42. Основные законы механики

После установления Кеплером законов движения планет естественно встал вопрос о причине таких движений. Решение этой задачи требовало предварительного изучения законов движения любых тел, т.е. необходимо было развитие той части естествознания, которая называется механикой. После того как трудами Галилея (1564-1642), Гюйгенса (1629-1695) и других ученых было положено начало опытному обоснованию механики, Ньютон сформулировал следующие три основных закона движения тел: 1-й закон. Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку приложенные силы не заставят его изменить это состояние. Этот закон называется законом инерции. Если m - масса тела, а v - его скорость, то закон инерции математически можно представить в следующем виде:

mv = const.(2.13)

Если v = 0, то тело находится в покое; если v = const ¹ 0, то тело движется равномерно и прямолинейно. Произведение mv называется количеством движения тела. Изменение количества движения тела может произойти только в результате его взаимодействия с другими телами, т.е. под действием силы. 2-й закон. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует. Второй закон математически записывается так: или