Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Β«Π’ΠΎΠΌ 18. ΠžΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ Π±Π΅Π· Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†. Π‘Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅Β». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 15

Автор Π­Π½Ρ€ΠΈΠΊΠ΅ Грасиан

Он рассматриваСт эти Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ «…нС ΠΊΠ°ΠΊ состоящиС ΠΈΠ· Π½Π΅Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΡ… частСй, Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π›ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π΅ Π½Π°Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊΒ».

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° Ρ„Π»ΡŽΠΊΡΠΈΠΉ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Ρƒ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌ, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ², Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ…, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ максимумы ΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΡ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΈΠ±Π° для Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ…. Π•ΠΌΡƒ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ это, ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ, связанных с использованиСм бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π·Π° это Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»ΠΎΡΡŒ Π·Π°ΠΏΠ»Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ свою Ρ†Π΅Π½Ρƒ. Анализ, построСнный Π½Π° этих прСдпосылках, ΠΈΠΌΠ΅Π» Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ограничСния ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π» ΠΏΡƒΡ‚ΡŒ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ властвовали Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ β€” странныС бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ матСматичСскиС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹, Π½Π΅Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ связанныС с Π°ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.



ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Ρ„Π»ΡŽΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π²ΠΎ французском ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°, Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠ΅ΠΌ Π² 1740 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ.


Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ матСматичСскиС Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Ρ‹ Π“ΠΎΡ‚Ρ„Ρ€ΠΈΠ΄Π° Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° (1646–1716) Π±Ρ‹Π»ΠΈ посвящСны ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ΅. Π’ Π½ΠΈΡ… ΡƒΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡΠ²ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π³Π΅Π½ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΡƒΡΡ‚Π°Ρ€Π΅Π²ΡˆΠΈΠΌΠΈ ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ для срСднСвСковой Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π² Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΈΡ… унивСрситСтах Ρ‚ΠΎΠΉ эпохи ΡƒΠ΄Π΅Π»ΡΠ»ΠΎΡΡŒ большоС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅. Π’ 1672 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† отправился Π² ΠŸΠ°Ρ€ΠΈΠΆ с Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ дипломатичСской миссиСй. ИмСнно Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° основным Ρ€ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π΅Π³ΠΎ занятий стала ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° β€” отчасти это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ влияниСм Π₯ристиана Π“ΡŽΠΉΠ³Π΅Π½ΡΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΠ» Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° с послСдними матСматичСскими открытиями.

Π’ этот ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, посвящСнныС суммам бСсконСчных рядов. Одним ΠΈΠ· Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² стал ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌ ΠΈ Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ ряд, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ устанавливаСтся нСоТиданная связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числом 71 ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами:



НСсомнСнно, ваТнСйшими Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΠΌΠΈ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° стали Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…, полоТившиС Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½Π΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ β€” матСматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ. ΠΠ΅ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠΌΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ сыграли Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ обозначСния. Π’Π°ΠΊ, с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² d ΠΈ  Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠΌ для обозначСния Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π° ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π°, стало Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ мноТСство Ρ€Π°Π·Ρ€ΠΎΠ·Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… матСматичСских понятий. Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† Π½Π΅ всСгда дСйствовал Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ Π°ΠΊΠΊΡƒΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ, ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, сравнивал сСбя с Ρ‚ΠΈΠ³Ρ€ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ «позволяСт ΡƒΠΉΡ‚ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π΅ смог ΡΡ…Π²Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Ρ‹ΠΆΠΎΠΊΒ».

ΠŸΡ€Ρ‹ΠΆΠΊΠΎΠΌ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° Π±Ρ‹Π» ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ дискрСтного ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ. ΠšΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ Π²Π»Π°Π΄Π΅Π» Π² ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΡΡ‚Π²Π΅, β€” это дискрСтный ΠΌΠΈΡ€, Π½ΠΎ ΠΌΠΈΡ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… являСтся Π½Π΅ дискрСтным, Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ проявился матСматичСский Π³Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΡΠΌΠ΅Π»ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ смог ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠšΠ°Π²Π°Π»ΡŒΠ΅Ρ€ΠΈ Π² Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΡƒΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ β€” бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅, для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ создал особыС Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΡ‹. Рассмотрим ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π²ΠΎΠΉ элСмСнт созданного Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…, ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π° языкС соврСмСнной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ.

* * *

Π‘ΠŸΠžΠ‘ΠžΠ‘ΠΠžΠ‘Π’Π˜ К Π―Π—Π«ΠšΠΠœ

Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† Π±Ρ‹Π» сыном извСстного ΡŽΡ€ΠΈΡΡ‚Π° ΠΈ Π² ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ Π»Π΅Ρ‚ остался сиротой. Учился ΠΎΠ½ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ всС силы ΠΎΡ‚Π΄Π°Π» ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π° Π½Π΅ΠΉ Π±Ρ‹Π»ΠΎ написано Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ Π² Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ΅, ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠ΅ΠΉΡΡ ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ†Π°. Π’ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡŒ Π»Π΅Ρ‚ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† ΡƒΠΆΠ΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π» классичСскиС Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Ρ‹ Π½Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΠΈ ΠΈ грСчСском, Π° Π² 13 β€” писал Π³Π΅ΠΊΠ·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π½Π° Π»Π°Ρ‚Ρ‹Π½ΠΈ. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Ρ‹Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ способностями ΠΊ языкам отличаСтся Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ извСстных ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ².

* * *

Нам извСстно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямая опрСдСляСтся двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°. НапримСр, прямыС r1 ΠΈ r2, проходящиС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Ξ± ΠΈ Ξ² соотвСтствСнно.

ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎΠ± ΡƒΠ³Π»Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊ матСматичСскому Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Ρƒ, Π½ΠΎ ΠΈ Π² повсСднСвной ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ± ΡƒΠ³Π»Π΅ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Π½Π° участкС автомагистрали.



Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ транспортира ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 24Β°. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» состоит Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Π³ΠΎ тангСнса. Π’ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ АВБ тангСнсом ΡƒΠ³Π»Π° называСтся ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π° ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ.


* * *

ΠžΠ‘ΠΠžΠ’Π« ΠœΠ•Π–Π”Π£ΠΠΠ ΠžΠ”ΠΠžΠ“Πž ΠŸΠ ΠΠ’Π

Π’ 15 Π»Π΅Ρ‚ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† Π½Π°Ρ‡Π°Π» ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π² ЛСйпцигском унивСрситСтС. НСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΎΠ½ удСлял ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ философии, Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π»Π΅Ρ‚ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π΄ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΡŽΡ€ΠΈΡΠΏΡ€ΡƒΠ΄Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚ΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π²ΠΈΠ΄Ρƒ юного возраста студСнта. ПослС этого ΠΎΠ½ пСрСвСлся Π² ΠΠ»ΡŒΠ΄ΠΎΡ€Ρ„ΡΠΊΠΈΠΉ унивСрситСт Π² ΠΡŽΡ€Π½Π±Π΅Ρ€Π³Π΅, Π³Π΄Π΅ Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‚ΠΈΠ» ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅ ΡΡ‚Π°Π²ΡˆΡƒΡŽ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΠΎΠΉ Π΄ΠΈΡΡΠ΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ± историчСском Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ΄Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°Π»ΠΎΠΆΠΈΠ» основы ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²Π°.

* * *



Π‘ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ тангСнс Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ tg: tg(Ξ±)АВ/Π‘Π’.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π° нСпрСрывная кривая (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π΅ отрывая ΠΊΠ°Ρ€Π°Π½Π΄Π°ΡˆΠ° ΠΎΡ‚ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ) Ρƒ = f(Ρ…) ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊ этой ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π . Как ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ, прямая опрСдСляСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ ΠΈ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π  ΡƒΠΆΠ΅ извСстна, ΠΈ СдинствСнноС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, β€” ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° искомой прямой. Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† Π² качСствС основы всСх своих вычислСний использовал построСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ½ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π» характСристичСским Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ. По сути, этот Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ стал ΠΊΡ€Π°Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ элСмСнтом Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ….



ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π  Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ… ΠΈ Ρƒ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Q ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ… + Ξ”Ρ…, ΡƒΞ”Ρƒ. НСтрудно ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π  ΠΈ Q, опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ tg(Ξ±) = Ξ”Ρƒ/Ξ”Ρ…. Если Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Q ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π , Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ особСнно Π½Π΅ измСнится β€” просто ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ‚ΡΡ Ξ”Ρ… ΠΈ Ξ”Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ упомянутыС Π½Π°ΠΌΠΈ измСнСния Ρ… ΠΈ Ρƒ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ. Π’ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΎΠ½ΠΈ станут достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π²Π»ΠΈΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. Π­Ρ‚ΠΈ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† Π½Π°Π·Π²Π°Π» Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ, dx ΠΈ dy соотвСтствСнно.



ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Q ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π  прямая, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π°Ρ эти Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, приблиТаСтся ΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π  Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ искомый ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Ξ± ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹



Когда расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π  ΠΈ Q станСт бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ условиС


* * *

ПИБЬМА ΠŸΠ Π˜ΠΠ¦Π•Π‘Π‘ΠΠœ

Π’ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… областях Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† извСстСн ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго ΠΊΠ°ΠΊ философ, Π° Π½Π΅ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ. Π’ возрастС 20 Π»Π΅Ρ‚ ΠΎΠ½ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» свои Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Ρ‹Π΅ «РассуТдСния ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΌ искусствС».

НСсмотря Π½Π° Ρ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π΅Π³ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ «НовыС ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Ρ‹ ΠΎ чСловСчСском Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Β» (1703) ΠΈΠ»ΠΈ «Монадология» (1714), ваТная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ философских Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½ΠΈΠΉ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° содСрТится Π² пСрСпискС с принцСссами Π‘ΠΎΡ„ΠΈΠ΅ΠΉ, Π‘ΠΎΡ„ΠΈΠ΅ΠΉ Π¨Π°Ρ€Π»ΠΎΡ‚Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΈ ΠšΠ°Ρ€ΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ β€” с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ½ Π±Ρ‹Π» связан Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ пСрСпиской, Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ»Ρ‹ΠΌΠΈ друТСскими ΡƒΠ·Π°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†Π΅ΡΡΡ‹ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ достаточно Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π² философии ΠΈ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ СдинствСнными, ΠΊΡ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ созданию Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Ρ… сообщСств Π²Π½Π΅ унивСрситСтов для свободного общСния ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π»Π»Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΠ°Π»ΠΎΠ², Π½Π΅ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ€Π΅Π»ΠΈΠ³ΠΈΠΎΠ·Π½Ρ‹Ρ… Π΄ΠΎΠ³ΠΌ.

* * *

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ dx ΠΈ dy, являСтся Ρ‚Π΅ΠΌ характСристичСским Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. По сути, Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚Ρ‹ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ со сторонами ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° с бСсконСчным числом сторон, Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ. Основная Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ с Π½ΠΈΠΌΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ с числами (с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ограничСниями) ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΡ… для получСния ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠ². Π‘ ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΅ΠΌΡƒ Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ. Говоря ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅, Ссли ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ состоит ΠΈΠ· Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΠΎΠ², достаточно ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ (Π² этом смыслС Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ опСрациями).



ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ Гэтфрида Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π° Π² возрастС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ пятидСсяти Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… Π»Π΅Ρ‚.