Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Β«Π–Π°Ρ€ Ρ…ΠΎΠ»ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… числ ΠΈ пафос бСсстрастной Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈΒ». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 44

Автор Борис Π‘ΠΈΡ€ΡŽΠΊΠΎΠ²

30

14. Π‘Ρ‚. ДТСвонс. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ. Π’Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π΅. Π‘ΠΏΠ±, 1881, с. 2. Π’ этой ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ доступноС ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ДТСвонса β€” Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π² Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ фактичСски присутствовало Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Ρ‹Π½Π΅ называСтся Π±ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ (см. ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Π³Π»Π°Π²Ρƒ). Π’ нашСм ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ нСсколько ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ символику ДТСвонса, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΠ² Π΅Π΅ ΠΊ соврСмСнной. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ДТСвонсу.

31

15. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… классов (мноТСств) β€” это опСрация, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ класс β€” Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ А ∩ Π’ ΠΈΠ»ΠΈ просто AΠ’, ΠΊΠ°ΠΊ Π² нашСй записи, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ состоит ΠΈΠ· элСмСнтов, входящих ΠΊΠ°ΠΊ Π² класс A, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π² класс Π’. Π’ дальнСйшСм Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ понятия объСдинСния Π΄Π²ΡƒΡ… классов ΠΈ дополнСния ΠΊ классу. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ объСдинСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… классов A ΠΈ Π’ называСтся опСрация, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ класс (ΠΎΠ½ обозначаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· A βˆͺ Π’), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ состоит ΠΈΠ· элСмСнтов, входящих хотя Π±Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· классов: Π² A ΠΈΠ»ΠΈ Π² Π’.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ взятия дополнСния ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ классу A (Π΄ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΠ»ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ класса, ΠΈΠ»ΠΈ унивСрсума, V) Π΅ΡΡ‚ΡŒ опСрация, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ класс, состоящий ΠΈΠ· всСх Ρ‚Π΅Ρ… ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅Ρ…) элСмСнтов унивСрсума, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ входят Π² класс А; Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ А обозначаСтся Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· A' ΠΈΠ»ΠΈ -A. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ пСрСсСчСния ΠΈ объСдинСния классов ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ свойством коммутативности (пСрСстановочности, симмСтричности), Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ А ∩ Π’ = Π’ βˆͺ А, А βˆͺ Π’ = Π’ ∩ А (это свойство ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π½ΠΈΠΆΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ 3).

32

16. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅Π³ΠΎ:

A = AB βˆͺ AB' = ABC βˆͺ ABC' βˆͺ AB'C βˆͺ AB'C', A' = A'B βˆͺ A'B' = А'Π’Π‘ βˆͺ А'Π’Π‘' βˆͺ AΠ’'Π‘ βˆͺ А'Π’'Π‘' Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, A βˆͺ A' = V.

33

1. G. Π’ΠΎΠΎlΠ΅. The Mathematical Analysis of Logic. Cambridge and London, 1847; G. Π’ΠΎΠΎlΠ΅. An Investigation of the Laws of Thought. London, 1854.

34

2. Π•. Π’. Π’Π΅ll. Men of Mathematics. New York. 1962, p. 433. О своСобразии английской ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΠΎΠ±ΡŠΡΡΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ матСматичСская Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ»Π° Π² Англии, см.: Π‘. Π’. Π‘ΠΈΡ€ΡŽΠΊΠΎΠ², А. А. Коноплянки Π½. Π Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΎ-матСматичСских ΠΈΠ΄Π΅ΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ элСмСнт историчСской ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΊΠΈ ΠΊΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ (Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ развития английской Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Π² 19 ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ 20 Π²Π².).β€” «ВСстник истории ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡƒΡ€Ρ‹Β», 1961, β„– 6 (30).

35

3. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄Π° (Π° & Ξ²) ΠΈ (Π° V Ξ²) ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ соотвСтствСнно ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° появится понятиС Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹), ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΆΠ΅ просто Β«ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡΠΌΠΈΒ» ΠΈ Β«Π΄ΠΈΠ·ΡŠΡŽΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡΠΌΠΈΒ».

36

4. ΠœΠ΅Ρ‚Π°Π·Π½Π°ΠΊ (Π³Ρ€Π΅Ρ‡. Β«ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Β» β€” Π·Π°, послС) β€” Π·Π½Π°ΠΊ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈΠ· Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Π° ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΊ этому Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚Ρƒ. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π·Π½Π°ΠΊΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹.

37

5. Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠ³ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ равСнств выглядит ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π°) ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ равСнство Π΅ΡΡ‚ΡŒ (одночлСнная) Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° равСнств;

Π±) Ссли Π₯ β€” Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° равСнств, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ послСднСй Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ справа являСтся Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Ο† ΠΈ Ο†=Ο‡;, Ρ‚ΠΎ Π₯=Ο‡ β€” Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° равСнств:

Π²) Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΊ равСнств, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ устанавливаСмых Π½Π° основС ΠΏΠΏ. Π°) ΠΈ Π±), Π½Π΅ имССтся.

38

6. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ список постулатов основан Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ высказываний, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΊΠ½.: П. Π‘. Новиков. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ. М.Β» 1973. с. 42.

39

7. НазваниС связано с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ 9 ΠΈ 10 Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ сформулировал Π”Π΅ ΠœΠΎΡ€Π³Π°Π½. Однако ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π±Ρ‹Π»ΠΈ извСстны ΡƒΠΆΠ΅ срСднСвСковым Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ°ΠΌ.

40

8. ВмСсто этого Β«ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎΒ» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π² число постулатов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ввСсти Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Β«ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅Β» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ: Ссли Π° = Ξ² Ρ‚ΠΎ (Ξ³ & Π°) = (Ξ³ & Ξ²). (Π° & Ξ³) = (Ξ² & Ξ³); (Ξ³ V Π°) = (Ξ³ V Ξ²), (Π° V Ξ³)-(Ξ² V Ξ³)Β» ~Π°= ~Ξ². Β«ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅Β» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ оказываСтся Π² этом случаС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ: Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Β«ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎΒ» ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ.

41

9. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ стрСмимся ΠΊ нСзависимости постулатов нашСго Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π°. НапримСр, свойство рСфлСксивности ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ равСнства оказываСтся Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ построСнии ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‚ свойств симмСтричности ΠΈ транзитивности этого ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· схСм аксиом 7, 8, 11β€”15. Π‘ΠΎ свойствами ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ равСнства ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎ ΠΊΠ½.: А. Варский. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΡƒ ΠΈ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡŽ Π΄Π΅Π΄ΡƒΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊ. М., 1948, с. 90 ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅Π΅. О философских вопросах, связанных Π² равСнством ΠΈ отоТдСствлСниСм, см: Π”. П. Горский. Вопросы абстракции ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ понятий. М., 1961.

42

10. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ (Π° β†’ Ξ²) ≝ (~Π° V Ξ²), Π³Π΄Π΅ ≝ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°ΠΊ «равСнства Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽΒ» («графичСского» ΠΈΡ… совпадСния). ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊ равСнствам ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° [b] (ср. Π½ΠΈΠΆΠ΅ с. 64β€”65 ΠΈ 69β€”70).

43

11. Π Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ΄Π° исчислСния равСнств ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ вСсьма ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ инструмСнтом Π²ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ… Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ оснований ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ (ср. ΠΊΠ½.: Π . Π›. ГудстСин. РСкурсивный матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·. М., 1970, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ исчислСниС равСнств ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для построСния ΠΈ исслСдования Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² конструктивной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ; ΠΎ конструктивном Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ см. Π½ΠΈΠΆΠ΅, Π³Π». 5 ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅Π΅). БистСматичСскоС прСдставлСниС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… логичСских систСм Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… исчислСний равСнств Π±Ρ‹Π»ΠΎ осущСствлСно Π“. И. Π‘Ρ‹Ρ€ΠΊΠΈΠ½Ρ‹ΠΌ Π² Π΅Π³ΠΎ курсах Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ «АлгСбраичСскиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π² Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅Β», Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° философском Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚Π΅ ΠœΠ“Π£ Π² 1974β€”1975 Π³Π³. 1

44

12. Π‘Ρ‚ΠΎΠ»Π±Ρ†Ρ‹ для Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΌΡ‹ отдСляСм Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… 0 ΠΈ 1 Π½Π΅ слСдуСт ΡΠΌΠ΅ΡˆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с константами 0 ΠΈ 1.

45

13. Π‘ ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ констант 0 ΠΈ 1, которая Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π°Π½Π° Π½ΠΈΠΆΠ΅.

46

14. ΠœΡ‹ Π½Π΅ останавливаСмся Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… дСталях опрСдСлСния;

понятия Β«Π²Π΅Ρ€Π½Ρ‹Π΅ равСнства Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Β», отсылая читатСля ΠΊ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ П. Π‘. Новикова, ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠΈ 6.

Π’ этой ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ говорится, ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, ΠΎΠ± ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Β«Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈΒ» Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», Π½ΠΎ это ΠΏΠΎ сущСству Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΠ΄ совпадСниСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅, Π²ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ окаТСтся равСнством ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ высказываний).

47

15. ВмСсто слов Β«Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π° ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… значСниях своих ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² истинноС (ΠΈΠ»ΠΈ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅) высказываниС» ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Β«Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅-Ρ‚ΠΎ (истинностноС) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅Β», Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ: Β«Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π° истинна (Π»ΠΎΠΆΠ½Π°)Β».

48

16. Π’ связи с Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ со Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ β†’ ΠΈ ≑ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ с самого Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅: Π½Π΅ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… опрСдСлСниями (ΠΊΠ°ΠΊ сокращСния), Π° Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² сам язык Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы β€” Π² Π΅Π΅ Π°Π»Ρ„Π°Π²ΠΈΡ‚ (Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ I Π²)). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡŽ понятия Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ добавлСнию ΠΊ систСмС постулатов схСм аксиом для β†’ ΠΈ ≑. А ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, Π² ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚ II (Π²) добавляСтся- «Ссли Π° ΠΈ Ξ² β€” Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹, Ρ‚ΠΎ (Π° β†’ Ξ²) ΠΈ (Π° ≑ Ξ²) β€” Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹Β», Π° ΠΊ систСмС постулатов IV[a] ΠΏΡ€ΠΈΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ: 18. (Π° β†’ Ξ²) = (~Π° V Ξ²) ΠΈ 19. (Π° ≑ Ξ²) = (~Π° V Ξ²) & (Π° V ~Ξ²)). ΠŸΡƒΠ½ΠΊΡ‚ V ΠΏΡ€ΠΈ этом Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ΄Π°Π»Π΅Π½.

49

17. Π‘Ρ€. Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΡƒ этих Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Ρƒ ДТСвонса (с. 43). ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ способ Β«Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎΒ» прСдставлСния этих Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² зависит ΠΎΡ‚ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π° рассматриваСмого логичСского Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π°.

рис. 7. ΠšΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ схСмы, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ классами Π° ΠΈ Ξ².

50

18. Аналогично, Π² школьной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π΅ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚, скаТСм, ((Π°+b)+с)+d ΠΈΠ»ΠΈ (Π°+b)+(с+d) Π° Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ просто Π°+b+с+d.

51

19. Π­Ρ€Π½Π΅Ρ‚ Π¨Ρ€Π΅Π΄Π΅Ρ€ (E. Schroder, 1841β€”1902) являСтся Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‚ΠΎΠΌΠ½Ρ‹Ρ… Β«Π›Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈΒ» (Vorlesungen uber die Logik. Bd. 1-3, Leipzig, 1890β€”1905), Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… собой β€” вмСстС с Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°ΠΌΠΈ русского Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ° ΠΈ астронома П. Π‘. ΠŸΠΎΡ€Π΅Ρ†ΠΊΠΎΠ³ΠΎ (1846β€”1907) β€” Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρƒ развития Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»ΠΎΠΌ столСтии. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π°, которая приводится Π½ΠΈΠΆΠ΅, заимствована ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌΠ° Β«Π›Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉΒ». Π­Ρ‚Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π° Π² своих лСкциях ΠΏΠΎ матСматичСской Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΊΠ΅ Π² Московском унивСрситСтС Π‘. А. Яновская; ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π² Π΅Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅.

52

20. Π’ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅ΠΌ, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΡ… свойств. О Π±ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°Ρ… см., Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

И. М. Π―Π³Π»ΠΎΠΌ. АлгСбра Буля.β€” Π’ сб.: «О Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… вопросах соврСмСнной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ ΠΊΠΈΠ±Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΈΒ». М., 1965.

53

21. НапоминаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь высказываниС понимаСтся «классичСски», Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ истинноС, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅, Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ вмСстС.

54

22. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Π±ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ для логичСской ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ нашСго Π°ΠΏΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ мноТСство Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ высказываний (рассматриваСмых с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ отоТдСствлСния Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ) вмСстС с Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π½Π° Π½ΠΈΡ… опСрациями ~, &. V - такая Π±ΡƒΠ»Π΅Π²Π° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° высказываний оказываСтся Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€ΠΎΠΉ Π›ΠΈΠ½Π΄Π΅Π½Π±Π°ΡƒΠΌΠ° β€” Варского, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ см.: Π•. Расёва, Π . Бикорскии. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠΌΠ΅Ρ‚Π°ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ. М., 1972, с. 282 ΠΈ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.