Читать онлайн «Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании». Страница 82

> dsolve(diff(y(х),х)-y(х)=ехр(-х), y(х));

> dsolve(diff(y(х),х)-y(х)=sin(х)*х, y(х));

> infolevel[dsolve] := 3:

> dsolve(diff(y(x),x)-y(x)=sin(x)*x, y(x));

Methods for first order ODEs:

Trying classification methods —

trying a quadrature

trying 1st order linear

<- 1st order linear successful

Обратив внимание на вывод в последнем примере. Он дан при уровне вывода n=3

Следующие примеры иллюстрируют возможность решения одного и того же дифференциального уравнения ode_L разными методами:

> restart: ode_L := sin(x)*diff(y(x),x)-cos(x)*y(x)=0;

> dsolve(ode_L, [linear], useInt);

> value(%);

y(x) = _C1 sin(x)

> dsolve(od_L, [separable], useInt);

> value(%);

ln(sin(x)) - ln(у(x)) + _C1 = 0

> mu := intfactor(ode_L);

> dsolve(mu*ode_L, [exact], useInt);

y(x) = -_C1 sin(x)

Разумеется, приведенными примерами далеко не исчерпываются возможности аналитического решения дифференциальных уравнений.

Из приведенных выше примеров видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff. С помощью символа $ в ней можно задать производную более высокого порядка.

В соответствии со вторым законом Ньютона многие физические явления, связанные с движением объектов, описываются дифференциальными уравнениями второго порядка. Ниже дан пример задания и решения такого уравнения (файл

dem), описывающего движение тела, брошенного вверх на высоте h0 со скоростью v0 при ускорении свободного падения g:

> restart; eq2:=diff(h(t),t$2) = -g;

> dsolve({eq2,h(0)=h[0], D(h)(0)=v[0]},h(t));assign(s2);

Итак, получено общее уравнение для временной зависимости высоты тела h(t). Разумеется, ее можно конкретизировать, например, для случая, когда g=9,8, h0=10 и v0=100:

> g:=9.8:

> s2:=dsolve({eq2,h(0)=10,D(h)(0)=100},h(t));assign(s2);

> plot(h(t),t=0..20,color=black);

Зависимость высоты тела от времени h(t) представлена на рис. 7.5. Нетрудно заметить, что высота полета тела вначале растет и достигнув максимума начинает снижаться. Оговоримся, что сопротивление воздуха в данном примере не учитывается, что позволяет считать задачу линейной. Полученное с помощью Maple 9.5 для этого случая решение совпадает с полученным вручную в примере, описанном в разделе 7.1.3.

Рис. 7.5. Зависимость высоты полета тела от времени h(t)

Еще одним классическим применением дифференциальных уравнений второго порядка является решение уравнение идеального гармонического осциллятора (файл deio):

> restart:eq3:=diff(y(t),t$2)=-omega^2*y(t);

> dsolve(eq3,y(t));

у(t) = _C1 sin(ω) + _C2 cos(ω)

> s:=dsolve({eq3,y(0)=-1,D(y)(0)=1}, y(t));

> assign(s);omega:=2;

ω := 2

> plot(y(t),t=0..20,color=black);

График решения этого уравнения (рис. 7.6) представляет хорошо известную синусоидальную функцию. Интересно, что амплитуда колебаний в общем случае отлична от 1 и зависит от значения у(0) — при у(0)=0 она равна 1 (в нашем случае синусоида начинается со значение у(0)=-1). Подобным осциллятором может быть LC-контур или механический маятник без потерь.

Рис. 7.6. Решение дифференциального уравнения идеального осциллятора

Ниже представлено решение еще двух дифференциальных уравнений второго порядка в аналитическом виде (de2a):

> restart: dsolve(diff(y(x),x$2)-diff(y(x),x)=sin(x),y(x));

у(x) = -½sin(x) + ½cos(x) + ex _C1 + _C2

> de:=m*diff(y(x),x$2)-k*diff(y(x),x);

> yx0:=y(0)=0,y(1)=1;

ух0:= у(0) = 0, у(1) = 1

> dsolve({de,yx0},y(x));

Ряд примеров на применение дифференциальных уравнений второго порядка при решении практических математических и физических задач вы найдете в главе 11.

Функция dsolve позволяет также решать системы дифференциальных уравнений. Для этого она записывается в виде

dsolve(ODE_sys, optional_1, optional_2,...)

Здесь ODE_sys — список дифференциальных уравнений, образующих систему, остальные параметры опциональные и задаются по мере необходимости. Они могут задавать начальные условия, явно представлять искомые зависимости, выбирать метод решения и т.д. Детали задания опциональных параметров можно найти в справке.

На рис. 7.7 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналитические выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа.

Рис. 7.7. Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами

Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда. Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде. Практически полезные примеры решения дифференциальных уравнений, в том числе с постоянными граничными условиями, вы найдете в Главе 11.

В качестве еще одного примера решении системы из двух дифференциальных уравнений рассмотрим модель Стритера-Фелпса, предложенную для описания динамики содержания растворенного в воде кислорода. Описание этой модели можно найти в [41]. Ниже представлено задание этой модели в виде системы из двух дифференциальных уравнений и их аналитическое решение (файл demp):

> sys := diff(x1(t),t) = K1*(C-x1(t))-K2*x2(t), diff(x2(t),t) = -K2*x2(t);

> dsol := dsolve({sys,x1(0) =a, x2(0)=b),{x1(t),x2(t)});

Здесь: x1(t) — концентрация в воде растворенного кислорода в момент времени t; x2(t) — концентрация биохимического потребления кислорода (БПК), С — концентрация насыщения воды кислородом, K1 — постоянная скорости аэрации, K2 — постоянная скорости уменьшения (БПК), a — начальное значение x1(t) и b — начальное значение х2(t) при t=0.

В данном случае получены два варианта аналитического решения — основное и упрощенное с помощью функции simplify. Читатель может самостоятельно построить графики зависимостей x1(t) и x2(t).

К сожалению, аналитического решения в общем случае нелинейные дифференциальные уравнения не имеют. Поэтому их приходится решать численными методами. Они удобны и в том случае, когда решение надо представить числами или, к примеру, построить график решения. Поясним принципы численного решения.

Для этого вернемся к дифференциальному уравнению (7.1). Заменим приращение dx на малое, но конечное приращение dx=h. Тогда приращение dy будет равно

Δy=h ∙ f(x, у).

Если, к примеру, известно начальное значение у=у0, то новое значение у будет равно

y1 = y0 + Δy = y0 + h∙f(x, y)

Распространяя этот подход на последующие шаги решения получим конечно-разностную формулу для решение приведенного уравнения в виде:

yi+1 = yi + h∙f(xi, yi).

Эта формула известна как формула простого метода Эйлера первого порядка для решения дифференциального уравнения (7.1). Можно предположить (так оно и есть), что столь простой подход дает большую ошибку — отбрасываемый член порядка O(h2). Тем не менее, физическая и математическая прозрачность данного метода привела к тому, что он широко применяется на практике.

Существует множество более совершенных методов решения дифференциальных уравнений, например, усовершенствованный метод Эйлера, метод трапеций, метод Рунге-Кутта, метод Рунге-Кутта-Фельберга и др. Ряд таких методов реализован в системе Maple и может использоваться при численном решении дифференциальных уравнений и систем с ними.

Для решения дифференциальных уравнений в численном виде в Maple используется та же функция dsolve с параметром numeric или type=numeric. При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге-Кутта-Фельберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf45 и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 7.8.