Читать онлайн «Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании». Страница 61

Отметим определения указанных функций:

G(n,a,x) — полином Гегенбауэра (из семейства ультрасферических полиномов);

H(n,x) — полином Эрмита;

L(n,x) — полином Лагерра;

L(n,a,x) — обобщенный полином Лагерра;

P(n,x) — полином Лежандра;

P(n,a,b,x) — полином Якоби;

T(n,x) — обобщенный полином Чебышева первого рода;

U(n,x) — обобщенный полином Чебышева второго рода.

Свойства ортогональных многочленов хорошо известны. Все они характеризуются целочисленным порядком n, аргументом х и иногда дополнительными параметрами а и b. Существуют простые рекуррентные формулы, позволяющие найти полином n-го порядка по значению полинома (n-1)-го порядка. Эти формулы и используются для вычисления полиномов высшего порядка.

Ниже представлены примеры вычисления ортогональных полиномов (файл orthpol):

> G(0, 1, х);

1

> G(1, 1, х);

2х

> G(1, 1, 5);

10

> Н(3, х);

8x³ - 12х

> L(3, х);

> L(2, а, х);

> Р(2, х);

> Р(2, 1, 1, х);

> Т(5, х);

16х5 - 20х3 + 5х

> U(5, х);

32х5 - 32х3 + 6х

В отличие от ряда элементарных функций, ортогональные многочлены определены только для действительного аргумента х. При комплексном аргументе ранее результат просто повторял исходное выражение с многочленом:

> evalf(U(2,2+3*I));

Р(2, 2+3I)

Но уже в Maple 9 ортогональные полиномы с комплексными аргументами могут вычисляться:

> evalf(U(2,2+3*I));

-21. +48.I

Ортогональные многочлены не определены и для дробного показателя n. Впрочем, надо отметить, что такие многочлены на практике используются крайне редко.

Представляет интерес построение графиков ортогональных многочленов. На рис. 5.6 построены графики ряда многочленов Гегенбауэра и Эрмита. На рис. 5.7 построены графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра. Наконец на рис. 5.8 даны графики ортогональных многочленов Чебышева T(n, х) и U(n, x).

Рис. 5.6. Графики ортогональных многочленов Гегенбауэра и Эрмита

Рис. 5.7. Графики ортогональных многочленов Лагерра и Лежандра

Рис. 5.8. Графики ортогональных многочленов Чебышева

Приведенные графики дают начальное представление о поведении ортогональных многочленов. К примеру, многочлены Чебышева имеют минимальное отклонение от оси абсцисс в заданном интервале изменения х. Это их свойство объясняет полезное применение таких многочленов при решении задач аппроксимации функций, которые рассматриваются в этой главе далее. Можно порекомендовать читателю по их образцу и подобию построить графики ортогональных многочленов при других значения параметра n и диапазонах изменения аргумента х.

Для работы с рядами ортогональных многочленов имеется пакет OrthogonalSeries для работы с рядами ортогональных многочленов. Он имеет довольно представительный набор функций:

> with(OrthogonalSeries);

[Add, ApplyOperator, ChangeBasis, Coefficients, ConvertToSum, Copy, Create, Degree, Derivate, DerivativeRepresentation, Evaluate, GetInfo, Multiply, PolynomialMultiply, ScalarMultiply, SimplifyCoefficients, Truncate]

Поскольку этот пакет представляет интерес, в основном, для опытных математиков, мы не будем рассматривать его функции (в целом достаточно простые) подробно и ограничимся несколькими примерами. В следующем примере с помощью функции Create создается бесконечный ряд с ортогональным многочленом Эрмита в составе базового выражения ряда:

> OrthogonalSeries[Create](u(n),HermiteH(n,x));

В другом примере показано представление полиномиального выражения в новом базисе с ортогональными многочленами Чебышева с помощью функции ChangeBasis:

> OrthogonalSeries[ChangeBasis](1+3*у*х^2+у^3*х,

 ChebyshevT(n,х), ChebyshevU(m, y));

1 + ¾ChebyshevT(2, x) ChebyshevU(1, y) + ¾ChebyshevU(1, y) + ½ChebyshevT(1, x) ChebyshevU(1, y)

> OrthogonalSeries[Evaluate](%);

3x²y + yx + 1

Обратите внимание на то, что новое выражение после исполнения команды Evaluate приняло вид исходного выражения.

Следующий пример демонстрирует создание ряда на основе ортогональных многочленов Чебышева и его копирование с помощью функции Сору:

> S:=Create((-1)^n/n!, ChebyshevT(n, х));

> Т:=Сору(S);

Вычисление производной от ряда с ортогональными многочленами представлено ниже:

> S := Create(u(n),ChebyshevT(n,х));

> Derivate(S, х);

Еще один пример демонстрирует операцию скалярного умножения ряда с помощью функции ScalarMultiply:

> S := Create(n+1,Kravchouk(n,p,q,x));

> ScalarMultiply(alpha, S);

> simplify(%);

Для выполнения ряда специальных операций с полиномами или создания полиномов с заданными свойствами служит пакет PolynomialTools. Этот пакет имеет небольшое число функций:

> with(PolynomialTools);

[CoefficientList, CoefficientVector, Hurwitz, IsSelfReciprocal, MinimalPolynomial , PDEToPolynomial, PolynomialToPDE, Shorten, Shorter, Sort, Split, Splits, Translate]

В пакет входят функции расщепления, сортировки и преобразования полиномов (в том числе в дифференциальные уравнения и наоборот) и др.

Рассмотрим несколько функций пакета PolynomialTools общего характера.

Функция IsSelfReciprocal(a, х, 'р') — проверяет полином а(х) на условие соeff(a,x,k)=coeff(a,x,d-k) для всех k=0..d, где d=degree(a, х) — порядок полинома. Если это условие выполняется, то возвращается логическое значение true, иначе — false. Если порядок d четный и если задан третий аргумент р, то р будет представлять полином P порядка d/2, такой, что x^(d/2)*P(x+1/x)=а. При нечетном d, полином а будет взаимо-обратным, что подразумевает деление на х+1. В этом случае если p указано, результат вычисляется в форме а/(х+1).

Примеры применения этой функции представлены ниже (файл poltools):

> with(PolynomialTools):

IsSelfReciprocal(х^4+х^3+х+1, x, 'p');

true

> p;

-2 + x + x²

> IsSelfReciprocal(х^5-3*х^4+х^3+х^2-3*х+1, x, 'p');

true

> p;

3-4x+x²

> r := evalf(1+sqrt(2));

r := 2.414213562

Функция MinimalPolynomial(r, n, acc) возвращает полином минимальной степени не превышающей n, имеющий корень r. Необязательный аргумент acc задает погрешность приближения. Функция MinimalPolynomial(r, n) использует решетчатый алгоритм и находит полином степени n (или менее) с наименьшими целыми коэффициентами. Корень r может быть действительным или комплексным. Результат зависит от значения переменной окружения Digits. По умолчанию acc задано как 10^(Digits-2). Примеры применения данной функции:

> MinimalPolynomial(r, 2);

-1 - 2_Х + _Х²

> r := 1+sqrt(2);

r:= 1 + √2

> ( r, 2 );

1+√2, 2

> MinimalPolynomial( 1.234, 3 );

-109 + 61_Х - 5_Х² + 22_ X³

> fsolve( %, X );

1.234000001

Функция Split(a, х, b) служит для расщепления полинома а с независимой переменной х. Параметр b — не обязательный. Функция Split(a, х) осуществляет комплексную факторизацию инвариантного полинома а по х. Если третий аргумент b задан, он представляет множество элементов {t1, … ,tm}, таких что полином а расщепляется над K=Q(t1, …, tm), где Q означает поле рациональных чисел.

Примеры:

> Split(х^2+х+1,х);

(х - RootOf(_Z² + _Z + 1))(х + 1 + RootOf(_Z² + _Z + 1))

> Split(х^2+у*х+1+у^2, x, 'b');

(x - RootOf(_Z² + y_Z + 1 + r))(x + y + RootOf(_Z² + y_Z + 1 + y²))

> b;

{RootOf(_Z² + у _Z + 1 + y²)}

В пакете определена еще одна подобная функция Splits, с которой можно познакомиться по справке на нее.

Функция Translate(a, х, х0) преобразует полином а(х) с подстановкой х=х+х0, где х0 — константа. Примеры применения этой функции даны ниже:

> Translate(х^2, х, 1);

1 + 2x + x²

> expand(eval(х^2,х=х+1));

1 + 2х + х²

> Translate(х^3,х,2);

8 + 12х + 6х² + х³

> expand(eval(х^3,х=х+2));

8 + 12х + 6х² + х³

> Translate((х+1)^3,х,-1);

x³

Для сортировки полиномов предназначены следующие три функции:

Shorter(f, g, х)