Читать онлайн «Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании». Страница 44

Такую возможность обеспечивает инструмент Differentiate Methods… по методам аналитического дифференцирования производных. Для открытия его окна надо исполнить команду Tools→Tutors Calculus-Single Variables→Differentiate Methods…. Это окно показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Окно Maplet-инструмента по методам дифференцирования

Окно имеет свое меню, область задания функции Function заданной переменной, область вывода функции и результатов ее преобразований и область с кнопками, позволяющими задавать правила дифференцирования и наблюдать результаты их выполнения. Можно задать выполнение всех шагов дифференцирования сразу по всем шагам (кнопка All Steps) или запустить дифференцирование раздельно по шагам (кнопка Start).

С помощью кнопки Hint можно вызвать советы по дифференцированию и применить их активизацией кнопки Apply Hint. В поле Differentiate Rules (Правила дифференцирования) имеется множество кнопок, позволяющих применить те или иные правила дифференцирования заданного выражения и опробовать их эффективность. Таким образом имеется возможность выполнить дифференцирование в аналитическом виде различными методами, задаваемыми пользователем. Пример на рис. 4.2 показывает дифференцирование функции f(x)=sin(x)*exp(-х). Представлены шаги дифференцирования и конечный результат.

Интегральное исчисление зародилось из практической необходимости вычисления площадей, объемов и центров тяжести различных фигур. Если есть некоторая функция f(х), то определенный интеграл вида

дает значение площади, ограниченной вертикалями а и именуемыми пределами интегрирования, кривой f(х) и осью абсцисс X. Под площадью надо понимать ее алгебраическое значение, то есть разность между площадью над осью X и под ней. В этом случае ясно, что определенный интеграл может иметь как положительные, так и отрицательные значения.

Если f(x)dx есть дифференциал функции F(x), то

f(x)dx = dF(x).

Функцию F(x) называют первообразной функции f(х). Наиболее общий вид первообразной функции f(x) называют неопределенным интегралом и обозначают как

∫f(x)dx.

Соответственно определенный интеграл определяется как:

В состав этого выражения включена некоторая постоянная интегрирования С, подчеркивающая, что для одной и той же f(х) существует масса первообразных, описываемых одной и той же линией, но смещенных по вертикали на произвольную постоянную. Например, для f(х)=sin(x) имеем

∫sin(x)dx = -sin(x) + С.

Определенный интеграл представляется числом, а неопределенный — функцией. Для их вычисления используются принципиально различные методы. Так, вычисление неопределенного интеграла возможно только в системах символьной математики. А вот для вычисления определенных интегралов используются как символьные, так и численные методы интегрирования.

Встречается ряд специальных видов интегралов. Один из них — интеграл с переменным верхним пределом, представленный в виде:

В данном случае верхний предел представлен функцией y(х).

Следует отметить, что Maple обычно стремиться вычислить определенный интеграл в аналитическом виде, даже если он представляется числом. Если нужно найти заведомо численное значение определенного интеграла, можно воспользоваться численными методами вычисления.

Для вычисления неопределенных и определенных интегралов Maple предоставляет следующие функции:

int(f,x); int(f,х=а..b);

int(f,х=а..b,continuous);

Int(f,x); Int(f,x=a..b);

Int(f,x=a..b,continuous);

Здесь f — подынтегральная функция, x — переменная, по которой выполняются вычисления, а и b — нижний и верхний пределы интегрирования, continuous — необязательное дополнительное условие.

Maple старается найти аналитическое значение интеграла с заданной подынтегральной функцией. Если это не удается (например, для «не берущихся» интегралов), то возвращается исходная запись интеграла. Ниже приведены примеры визуализации и вычисления неопределенных интегралов (файл intex):

> Int(a*x^n,x)=int(а*х^n,х);

> Int(sin(х)/х,х)=int(sin(х)/х,х);

> Int(ln(х)^3,х);

∫ln(x)³dx

> value(%);

ln(x)³x - 3х ln(x)² = 6х ln(x) - 6х

> Int(х^5*ехр(-х),х);

∫x4e(-x)dx

> value(%);

-х5 е(-x) - 5х4е(-x) - 20х3е(-x) - 60х2е(-х) - 120хе(-x) - 120е(-x)

> Int(1/х,x)=int(1/х,х);

Обратите внимание, что в аналитическом представлении неопределенных интегралов отсутствует произвольная постоянная С. Не следует забывать о ее существовании.

Возможно вычисление сумм интегралов и интегралов сумм, а также интегралов от полиномов.

> Sum(Int(x^i,х),i=1..5);

> value(%);

> Int(sum(х^i, i=1..5),x);

> value(%);

> Р(х):=а*х^3+b*х^2+с*х+d;

Р(х) := ax³ + bx² + сх + d

> int(Р(х),х);

Maple 9.5 успешно берет большинство справочных интегралов. Но не всегда форма представления интеграла совпадает с приведенной в том или ином справочнике.

В некоторых случаях Maple не может вычислить интеграл. Тогда он просто повторяет его. С помощью функций taylor и convert можно попытаться получить аналитическое решение в виде полинома умеренной степени, что демонстрирует следующий характерный пример:

> int(exp(sin(х)),х);

∫esin(x)dx

> convert(taylor(%,х=0,8),polynom);

Естественно, что в этом случае решение является приближенным, но оно все же есть и с ним можно работать, например, можно построить график функции, представляющей данный интеграл.

Система Maple непрерывно совершенствуется. Например, в Maple V R4 интеграл с подынтегральной функцией ехр(х^4) не брался, а системы Maple, начиная с версии Maple 7, с легкостью берут его:

> Int(exp(x^4),х)=int(exp(х^4),х);

Хотя полученный результат, выраженный через гамма-функцию, нельзя назвать очень простым, но он существует и с ним также можно работать. Например, можно попытаться несколько упростить его, используя функцию simplify:

> simplify(%);

Разумеется, существует также множество иных возможностей и приемов для выполнения операции интегрирования. В дальнейшем мы неоднократно будем рассматривать и другие, более специфические функции для осуществления интегрирования и вычисления интегральных преобразований. В частности, ряд средств вычисления интегралов реализован в пакете student.

Для вычисления определенных интегралов используются те же функции int и Int, в которых надо указать пределы интегрирования, например. х=а..b, если интегрируется функция переменной х. Это поясняется приведенными ниже примерами:

> Int(sin(x)/x,х=а..b)=int(sin(х)/х,х=а..b);

> Int(sin(х)/х,х=0..1.)=int(sin(х)/х, х=0..1.);

> Int(х*ln(х),х=0..1)=int(x*ln(x), х=0..1);

> Int(х*ехр(-х),х=0..infinity)=int(х*ехр(-х), х=0..infinity);

> Int(1/(х^2+6*х+12),x=-infinity..infinity);

> value(%);

⅓π√3

Как видно из этих примеров, среди значений пределов может быть бесконечность, обозначаемая как infinity.

Рассмотрим интеграл, который встречает трудности при вычислении с ограниченным числом верных знаков в процессе вычислений. Maple 8/9/9.5 (кстати, как и Mathematica 4/5), с легкостью берут этот интеграл и позволяют сразу и без какой-либо настройки вычислить для него как точное, так и приближенное значение:

> Int(х^20*ехр(-х),х=0..1)=int(х^20*ехр(-х),х=0..1);

> evalf(%,30);

.0183504676972562063261447542317 = .01835046770

Любопытно, что версия Maple 6 при задании погрешности по умолчанию вычисляла значение этого интеграла также как 0, тогда как Maple 9.5 «поумнел» уже настолько, что дает значение 0.01835046770 даже в этом, не очень удачном, случае. Более того Maple 9/9.5 позволяет наглядно проиллюстрировать характер промежуточных вычислений подобных интегралов:

> int(х^20*ехр(-х),х);

½+½I√3, ½-½I√3, RootOf(_Z5 + _Z4 - _Z2 - _Z - 1, index = 1), RoolOf(_Z5 + _Z4 - _Z2 - _Z - 1, index = 2), RootOf(_Z5 + _Z4 – _Z2 - _Z - 1, index = 3), RootOf(_Z5 + _Z4 - _Z2 - _Z - 1, index = 4), RootOf(_Z5 + _Z4 - _Z2 - _Z - 1, index = 5)

Нетрудно заметить, что решение распадается на множество слагаемых, соответствующих общеизвестному интегрированию по частям. В каждом слагаемом имеются большие числа и потому принципиально необходимо применение арифметики высокой точности (или разрядности). Maple 9/9.5 такими средствами, причем превосходными, обладает.