Читать онлайн «Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании». Страница 100

8.11.3. Визуализация всех фаз анимации разложения импульса в ряд Фурье

Можно ли наблюдать одновременно все фазы анимации? Можно! Для этого достаточно оформить анимационную картину, созданную функцией animate, в виде отдельного графического объекта, например, g, после чего можно вывести все его фазы оператором display. Это и иллюстрирует рис. 8.68. На этот раз задано f(x)=signum(x-1/2) и N=25. Таким образом, рассматриваются симметричные прямоугольные импульсы — меандр. У каждого рисунка координатные оси с делениями удалены параметром axes=none.

Рис. 8.68. Иллюстрация получения всех кадров анимации двумерного графика

Любопытно отметить, что при определенных числах гармоник связанная с колебательными процессами неравномерность вершины импульса резко уменьшается. Наблюдение этого явления и является наиболее интересным и поучительным при просмотре данного примера.

При внимательном просмотре рис. 8.68 заметно, что, после некоторого периода установления, фазы анимационной картинки практически повторяются. Это связано с известным обстоятельством — установившийся спектр меандра содержит только нечетные гармоники. Поэтому, к примеру, вид спектрального разложения при 22 гармониках будет тот же, что и при 21 гармонике, при 24 гармониках тот же, что при 23 и т.д. Однако, эта закономерность проявляется только при установившемся (стационарном) спектре.

Наблюдение за развитием поверхности производит на многих (особенно на студентов) большое впечатление. Оно позволяет понять детали создания сложных трехмерных графиков и наглядно представить их математическую сущность.

Как и для случая анимации двумерного графика, большой интерес представляет построение всех фаз анимации на одном рисунке. Делается это точно так же, как в двумерном случае. Это иллюстрирует рис. 8.69. На нем представлены 8 фаз анимации трехмерной поверхности cos(f*x*y/3), представленной функцией трех переменных t, х и у. При этом изменение первой переменной создает фазы анимации поверхности.

Рис. 8.69. Фазы анимации трехмерной поверхности

Применение анимации дает повышенную степень визуализации решении ряда задач, связанных с построением двумерных и трехмерных графиков. Следует отметить, что построение анимированных графиков требует дополнительных и достаточно существенных затрат оперативной памяти. Поэтому злоупотреблять числом стоп-кадров таких графиков не стоит.

Наряду с описанной выше формой применения функций анимации animate и animate3d возможны и иные формы их применения. Ограничимся парой примеров такого применения. В приведенном ниже примере анимация импликативного графика заключается в превращении окружности в наклонный эллипс:

> with(plots) :

plots[animate](implicitplot, [х^2+А*х*y+y^2=2, x=-2..2, y=-2..2,

 grid=[50,50]], A=0..1, frames=25);

Для этого задано 25 кадров (фреймов) изменения параметра А от 0 до 1. В другом примере анимация задает деформацию мембраны в виде квадрата с жестко закрепленными границами:

> plots[animate](plot3d, [sin(А)*ехр(-х^2-y^2), х=-2..2, y=-2..2],

 А=0..2*Pi);

Ввиду очевидности этих примеров графики результатов их выполнения не приводятся — пользователь может просмотреть их самостоятельно.

Иногда возникает необходимость сменить координаты к какого-то графика или изменить масштаб по определенной оси. Первая задача может несколько озадачить пользователя. Однако она легко решается средствами графики пакета stats — см. примеры на рис. 8.70. Масштабирование и сдвиг решаются проще — введением масштабных коэффициентов и констант сдвига. Но и эти задачи еще проще решаются указанными выше средствами графики.

Рис. 8.70. Примеры смены координат и масштабирования графиков

В первом примере рис. 8.70 используется функция xyexchange(p) меняющая оси у графического объекта р. Во втором случае используется функция xscale(k,p) масштабирующая объект по оси х в k раз. А в третьем примере используется функция сдвига объекта xshift(xs,p) на расстояние xs и масштабирования zscale(k,p) в k раз по оси z. О других функциях подпакета статистической графики можно судить по названиям его функций.

В пакет plots была введена новая функция построения стрелок в пространстве arrow. Она задается в виде:

arrow(u,[v,]opts)

или

arrow(U,opts)

Построение стрелок задается по одномерными массивами координат начала стрелок и их направления u и v или двумерным массивом U, которые могут быть представлены векторами, списками или множествами. Вид стрелок задается параметром opts, который может иметь значения shape, length, width, head_width, head_length или plane и задает вид стрелок (форму, длину, ширину и т.д.). Детали задания параметров можно найти в справке по данной функции. Рис. 8.71 дает наглядное представление о ее возможностях.

Рис. 8.71. Построение стрелок с помощью функции arrow

Maple 9.5 позволяет строить достаточно сложные комбинированные графики, содержащие различные графические и текстовые объекты. Пример построения такого графика представлен на рис. 8.72.

Рис. 8.72. Пример построения сложного объекта, состоящего из 8 графических и текстовых объектов

Представленный на рис. 8.72 объект задает построение восьми графических объектов от р1 до р8. Среди них цилиндр, две пересекающие его плоскости и иные (в том числе текстовые) объекты. Обратите внимание на способ вывода этих объектов функцией display3d. Этот пример показывает, что с помощью графических программных средств Maple 9 можно строить достаточно замысловатые графики, которые могут использоваться для визуализации тех или иных геометрических и иных объектов.

Дифференциальные параметры функции f(x), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования. Так, точки с нулевой первой производной задают области, где кривая нарастает (первая производная положительна) или убывает (первая производная отрицательна) с ростом аргумента х. Нули второй производной задают точки перегиба кривой.

Для такого анализа особенно удобен новый пакет Calculus 1, включенный в пакет расширения Student. На рис. 8.73. показано применение функции FunctionChart для визуализации дифференциальных параметров кривой, которая представляет собой сложную функцию. По умолчанию анализ ведется в интервале изменения х от -10 до +10. Экстремальные точки помечаются ромбиком, точки перегиба крестиком, нули кружочками, а области кривых — заливкой цветом.

Рис. 8.73. Анализ и визуализация сложной функции, заданной функцией пользователя

Рисунок 8.73 дает наглядное представление о поведении заданной функции. Рекомендуется опробовать данную процедуру на других функциях. Следует отметить, что, поскольку процедура использует функции minimize и maximize, она может давать сбои при исследовании сложных функций, содержащих специальные математические функции или особенности. Данная процедура дает хорошие результаты при анализе функций, представленных полиномами.

Функция FunctionChart может использоваться с многочисленными опциями, существенно влияющими на вид рисунка — рис. 8.74. В данном случае анализируется функция sin(x)/x.

Рис. 8.74. Визуализация функции sin(x)/x

Визуализация функций весьма полезна в учебных целях при детальном изучении свойств той или иной функции.

В ряде случаев обычная техника анимации оказывается не очень подходящей из-за ограничений на выбор опций. Такова, например, ситуация, когда желательно обеспечить анимацию с большим числом кадров сложной поверхности, освещаемой от некоторого источника света. Пример такого рода представлен на рис. 8.75.

Рис. 8.75. Задание поверхности — мембраны

На рис. 8.76 задана упругая поверхность мембраны, закрепленной по периметру. Мембрана имеет ряд выпуклостей и впадин, переходящих друг в друга. Начальный вид мембраны представлен на рис. 8.76. Там же показано контекстное меню мыши, с помощью которой можно запустить анимацию — в том числе по кадрам.

Рис. 8.76. Организация анимации мембраны и ее начальное положение