Читать онлайн «Хаос и структура». Страница 54

Всякая плоская кривая второго порядка характеризуется двумя направлениями своей деформации, соответственно двум главным координатам. Каждое направление характеризуется парой фокусов. У геометров невозможно добиться настоящего интуитивного понимания фокуса, и понимание последнего почти всегда сводят на аналитические абстракции. Тем не менее фокус есть просто указание на деформацию. Это прямо выводится из толкования фокуса кривой второго порядка как такой дочки, расстояние которой от точек этой линии выражается рационально через их координаты, точно так же—как и из толкования фокуса в виде точки пересечения четырех мнимых касательных к линии второго порядка, проходящих через циклические точки. Но мы не будем здесь излагать этого подробно (отсылая к специальному отделу; ср. также §[105]), а только ограничимся простым и наивным констатированием того, что с удалением фокуса от центра кривая определенным образом деформируется, а с его приближением к центру она деформируется в обратном смысле. Из учения о мнимых величинах (§[105]) мы увидим также, что если положительные и отрицательные величины откладывать направо и налево по л>ам, то мнимые пойдут вверх и вниз по >-кам. Кривая второго порядка определяется двумя вещественными и двумя мнимыми фокусами. Ясно, чтобы не было никакой ино–бытийной деформации кривой, необходимо, чтобы кривизна ее была везде одной и той же, а это значит, что все четыре фокуса должны совпадать в одной точке. Тут мы имеем круг, кривую второго порядка, у которой все четыре фокуса слились в одну точку (поскольку, конечно, можно говорить об определенном положении мнимых точек).

Если эта математически–диалектическая позиция усвоена, то нетрудно будет получить и прочие кривые второго порядка. Пусть перво–принципом замкнутой кривой будет выведенное раньше ее понятие. Тогда ее бытием будет круг. И тогда ее становлением будет, несомненно, парабола, у которой именно и происходит уход в бесконечное становление второго вещественного фокуса, а также бесконечное расхождение и мнимых фокусов, или, точнее сказать, один из вещественных фокусов параболы здесь бесконечно удален, а оба мнимых совпадают с циклическими точками. Чтобы такое становление остановить, надо снова ухватить его второй конец. Это случается в гиперболе, второй вещественный фокус которой, пройдя бесконечность, вновь появляется на конечном расстоянии, но уже с другой стороны (как это и должно быть, поскольку бесконечность есть отрицание конечного, вернее, отрицание самой категории конечного); и то же случается тут и с мнимыми фокусами, которые в гиперболе лежат на конечной мнимой оси.

Интереснее всего, однако, выразительная форма замкнутой кривой. Из теории мнимостей (§[105]) мы узнаем, что мнимая величина есть в диалектическом смысле выразительная величина и что вещественная величина, перейдя в мнимость, тем самым получает свое выражение, поскольку мнимость представляет собою наличие в данном измерении перехода в следующее измерение без нарушения, однако, прав первого измерения. В применении к кривым второго порядка это значит, что их вещественные фокусы (а они вместе с мнимыми [суть] показатели деформации) должны стать мнимыми, а мнимые вещественными. Это произойдет, если мы будем все больше и больше разгибать гиперболу, покамест не превратим ее в две параллельные прямые и потом в эллипс, б [олыпая ] ось которого окажется расположенной именно перпендикулярно к прежнему положению оси параболы и гиперболы, и в нем старые вещественные фокусы гиперболы превратятся в мнимые, расположенные на малой оси эллипса, а старые мнимые фокусы гиперболы превратятся в вещественные эллипса, расположенные на его большой оси. Этот эллипс и есть выразительная форма кривой второго порядка вообще.

Можно было бы получить эллипс и раньше, путем раздвижения двух вещественных фокусов круга, но без удаления второго из них в бесконечность. Это было бы моментом становления, которое в развитом виде представлено у нас параболой. Тут, однако, ничего удивительного нет, так как становление мы относим и к чистому эйдосу и к энергии; и там и здесь оно есть некое выражение, хотя и дано оно здесь на разных ступенях диалектической зрелости. В полном же смысле слова диалектическим выражением кривой второго порядка является упомянутый эллипс с упомянутым появлением его из гиперболы.

4. Этим мы заканчиваем наши краткие указания, ориентирующие нас в диалектике линии. Далее, мы должны были бы рассматривать диалектику плоскости и пространства, категории которых выведены у нас выше.

а) Нас не должно смущать то обстоятельство, что чего–то плоскостного мы уже коснулись в рассуждениях о кривых. Если угодно, мы там коснулись также й пространства, потому что цельное интуитивное представление взаимоперехода кривых второго порядка никак не обойдется без пространственных элементов. Тем не менее все это было только линиями, а не плоскостями; и мы должны различать окружность и круг, поскольку первая—линия, а второй — плоскость. Привлечение же второго и третьего измерения неизбежно потому, что мы захотели фиксировать выразительные формы линии. Выражение, как мы знаем (§[21]), вообще всегда есть привлечение субстанциально нового инобытия (т.е., напр., не просто различение на линии положительного и отрицательного направления, что было бы внутренним инобытием линии, но привлечение нового измерения, т. е. плоскости). Однако, поскольку речь идет о чистом выражении, это субстанциальное инобытие не заставляет реально и вещественно переходить в него (что привело бы просто к забвению самой линии), а заставляет только смысловым образом отображать его на себе. Всякая кривая вовсе не есть плоскость в реальном смысле слова, но она отражает на себе значимость плоскости, она — мнимая плоскость (это нам станет окончательно ясным после исследования мнимых величин, §[106]). И это потому, что кривая так или иначе несет с собою выразительную энергию линии вообще. Если угодно найти интуитивный образ для диалектической категории выражения, которое есть переход от данного смысла в инобытие, но не реальный переход, а только идеальный, смысловой, то кривые второго порядка — круг, эллипс, параболу и гиперболу — можно считать одним из самых лучших способов представлять себе «выражение».

b) Итак, нам предстояло бы говорить о диалектике плоскости и пространства. Не стоит делать этого подробно, так как этому у нас посвящен целый отдел. Но некоторые вехи все же наметим.

Плоскость, чтобы получить диалектическое оформление, должна быть чем–нибудь заполнена, или по крайней мере внутри ее должны быть осуществлены определенные условия ориентации. Чем может быть определена плоскость, если брать сначала ее внутреннее содержание, а не ориентировать саму плоскость как таковую среди всяких других геометрических построений? До плоскости мы имеем линию. Следовательно, с линии должен начаться процесс ориентации на плоскость. Как же будет происходить эта ориентация? Диалектика знает только один способ расширения смыслового содержания — это переход в инобытие. Линия должна перейти в инобытие, т. е. ей должно быть противопоставлено нечто такое, что не есть она сама. Но что же есть такое, противостоящее линии? Очевидно, опять–таки точка, но не точка на самой прямой (потому что тогда она не была бы отлична от самой прямой, но, наоборот, абсолютно слилась бы с ней), а точка вне самой прямой (тогда — очевидное противостояние точки и прямой).

Но тут необходимо иметь в виду, что мы знаем не только прямую, но и еще ее последующее диалектическое развитие. Там уже была как–то привлечена плоскость, хотя она и не была диалектически положена. Чтобы ее диалектически развернуть, надо ее заполнить при помощи прямой и ее диалектических продуктов. Тогда и эта последняя станет определением уже плоскости. Начнем с прямой.

с) Итак, мы имеем прямую и точку вне этой прямой. Это — уже различие. Где же тождество данной прямой и точки? Мы уже знаем, как получается тождество в ино–бытийно–геометрической области. Оно получается через пространственное объединение различествующих моментов. Другими словами, нужно соединить нашу прямую и точку, т. е. из этой точки провести линию, которая бы пересекла нашу прямую. Но так как здесь мы пока имеем чистые категории, в которых нет ничего, кроме них самих, то и различие и тождество должны быть только тем, что они сами собою говорят, т. е. по величине своей только необходимо великими, не больше того. Другими словами, тождество получится тогда, когда из данной точки будет опущен на прямую перпендикуляр, т. е. когда образуется угол, и притом пока только еще прямой, или, иначе, [образуются ] плоскостные координаты, и притом пока только еще декартовы (т. е. прямоугольные). Это и значит, что мы получили возможность ориентации на плоскости, т. е. тем самым определили внутреннее содержание всякой замкнутой плоскости. Стало быть, прямой угол есть такое самотождественное различие (прямая), которое, перейдя в свое инобытие, вновь обнаружило себя как именно самотождественное различие. В диалектическом анализе проективной геометрии мы убедимся, что это есть не что иное, как определение двумя перпендикулярными прямыми на бесконечно удаленной прямой двух соответственных точек инволюции.