Π ΠΏΡΠΎΡΠ»ΡΠΉ ΡΠ°Π· Ρ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π» Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² Π³ΡΡΠΏΠΏ: ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΎΠ±Π½ΠΎ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Sy ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ»Π° ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ°Π²Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΠΉ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠ½Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ½ΡΠΌ, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π° ΠΈΠ· ΡΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ². ΠΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ»ΠΈ ΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ°Ρ β€/n β ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π°, ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠ΅ n, Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠ΅ΠΉ β ΡΠ° ΠΆΠ΅ Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½Π½Π°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΌΡ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π° ΡΠΈΡΠ΅ΡΠ±Π»Π°Ρ ΡΠ°ΡΠΎΠ², ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° n Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ ΡΠΏΡΠΎΡΠΈΡΡ ΠΌΠ΅Π½Ρ: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π½Π° ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ²? Π‘Π΅ΠΉΡΠ°Ρ Ρ ΠΎΠΏΠΈΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ². ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π°Π½Ρ Π΄Π²Π΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ, G ΠΈ Π. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡΡ, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΎΠ²ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ *, Π³ΡΡΠΏΠΏΠΎΠ²ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ β Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Β·. ΠΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π½ΠΎΠ²Π°Ρ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Π΅ G Γ H), Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ (g, h), Π³Π΄Π΅ g β ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ G, h β ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π:
G Γ H = {(g,h): g β G, h β Π}.
ΠΡΡΠ°Π»ΠΎΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΎΠ²ΡΡ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π³ΡΡΠΏΠΏΠΎΠ²ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ G ΠΈ Π ΠΊ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΡΡΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌ ΠΏΠ°Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ (g1, h1) ΠΈ (g2, h2) Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ°Π²Π΅Π½ (g1 * g2, h1 Β· h2). ΠΠ΅ΡΡΡΠ΄Π½ΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΡΡΠ²ΠΎ Ρ ΠΎΡΡΠ°Π²Π»Ρ Π²Π°ΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΡΠΏΡΠ°ΠΆΠ½Π΅Π½ΠΈΡ. ΠΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΎΠ²ΡΡ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ G ΠΈ Π.
ΠΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠΌ Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° Π½Π° ΡΠ°ΠΌΡ ΡΠ΅Π±Ρ. ΠΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΠΎ, ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ β€/2 ΡΠ°Π²Π½Ρ [0] ΠΈ [1], Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ:
[0] + [0] = [0], [0] + [1] = [1],[1] + [0] = [1] ΠΈ [1] + [1] = [0].
Π’Π°ΠΊ, ΠΏΡΡΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β€/2 Ρ β€/2 Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠΈ:
([0], [0]), ([0], [1]), ([1], [0]) ΠΈ ([1], [1]).
ΠΠ΅ΡΠ²Π°Ρ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΠΏΠ°Ρ β Π½Π΅ΠΉΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ. ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ Π΅Π΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π΅. ΠΡΠ»ΠΈ ΠΌΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΠΎΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π° = ([0], [1]), b = ([1], [0]) ΠΈ Ρ = ([1], [1]), ΡΠΎ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ Π²ΠΈΠ΄
70
ΠΡΠΎ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° ΠΠ»Π΅ΠΉΠ½Π°, Π½Π°Π·Π²Π°Π½Π½Π°Ρ Π² ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΌΠ΅ΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ° Π€Π΅Π»ΠΈΠΊΡΠ° ΠΠ»Π΅ΠΉΠ½Π° (1849β1925), ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π» Π΅Π΅ Π² 1884 Π³ΠΎΠ΄Ρ Π² ΡΠ²ΠΎΠΈΡ Β«ΠΠ΅ΠΊΡΠΈΡΡ ΠΎΠ± ΠΈΠΊΠΎΡΠ°ΡΠ΄ΡΠ΅ ΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡΡΠΎΠΉ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈΒ» ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΎΠΌΠ± ΠΈΠ½Π²Π°ΡΠΈΠ°Π½ΡΠ½ΡΠΌ. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΎΠ½Π° ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊΠ° β ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΡΠΎ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΡ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΌΡΡΠ»Π΅ Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΡΠ΅ΡΠΈΠ·ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡ, Π° ΡΠΎΠΌΠ± ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅Π½, ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΠ³ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΈΠΊ!
ΠΡΡΠΏΠΏΠ° ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΠΈΡ ΡΠΎΠΌΠ± Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌ.
ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΠ»Π΅ΠΉΠ½Π° ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡΠΌ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½Ρ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΉΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ. ΠΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° β ΡΡΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° β€/4 ΠΈ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° ΠΠ»Π΅ΠΉΠ½Π°.
ΠΠ½ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΡΠΎΠ΄Π΅ΡΠΆΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ²Π΅ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ°, Π΄ΡΡΠ³Π°Ρ β Π½Π΅Ρ.
ΠΠΠΠ-Π‘Π’Π ΠΠ‘Π‘: Π― ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ, ΠΎ ΡΠ΅ΠΌ Π²Ρ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΠ΅, Π³ΠΎΡΠΏΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΠ΅ΠΉΠ»Ρ, Π½ΠΎ ΡΠΊΠ»Π°Π΄ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ ΠΌΡ ΠΎΡΠΎΡΠ»ΠΈ ΠΎΡ ΡΠ΅ΠΌΡ: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΊ Π±ΡΠ°ΠΊΡ?
71
ΠΠΠΠΠ¬: ΠΠ°Π±Π΅ΡΠΈΡΠ΅ΡΡ ΡΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½ΠΈΡ! Π― ΡΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΠ», ΡΡΠΎ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΠ΅Ρ Π΄Π²ΡΠΌ Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ, ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΡ ΡΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π±ΡΠ°ΠΊΠ° Mi ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ f ΠΈ g. ΠΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΡΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΠΈΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π·Π°ΠΏΡΠ΅ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΡΠ° ΠΈ, ΠΏΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΉ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΠΏΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ , ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²Ρ ΠΏΠΈΡΠ°Π»ΠΈ Π² Β«ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ°Ρ ΡΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π°Β»:
Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ 3: ΠΠΎΠΏΡΡΠΊΠ°Π΅ΡΡΡ Π±ΡΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π»ΡΠ±ΡΠΌ ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΠΎΡΠ΅ΡΡΡ Π±ΡΠ°ΡΠ° Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈ.
ΠΡΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΠΈ f ΠΈ g. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΈΠ·ΡΡΠΈΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΡΡΠ², ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΡΠ΅ΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΠΌ, Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ-ΡΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡΠΈΡΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ. ΠΠΎΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΡΠ³Π»ΡΠ΄ΡΡ ΡΡΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΡ:
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠΈΠΌ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· Π Π³ΡΡΠΏΠΏΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ f ΠΈ g. ΠΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²: ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Ρ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π²ΠΊΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π² ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π°ΡΡΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π Π½Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ: Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΈΠ· Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΡ, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΌ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΡΡ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ.
ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ, ΡΠΎ Π΅ΡΡΡ f ΠΈ g Π½Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ ΠΎΡ Π΄ΡΡΠ³Π°. ΠΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π Π±ΡΠ΄ΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΏΠΎΡΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ f ΠΈ g, ΠΊ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΡ:
f * g * g * f * g
ΠΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ, Π½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ, ΡΡΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ f ΠΈ g ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°, ΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ²ΠΎΠΉΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π°ΡΡΠΎΡΠΈΠ°ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ, ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ f*g = g*f ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ f ΠΈ Π²ΡΠ΅ g Π±ΡΠ΄ΡΡ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ΄ΠΎΠΌ. ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ:
f*g*g*f*g=f*g*(g*f)*g=f*g*(f*g)*g=f*(g*f)*g*g=f*(f*g)*g*g=f2*g3
Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡΡΠ΅ΠΊΡΠ΅Π½ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° H, ΠΌΡ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, ΡΡΠΎ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ Π ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ fn * gm, Π³Π΄Π΅ n ΠΈ m β Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° (ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΡΠ°Π²Π½ΡΡΡΡΡ Π½ΡΠ»Ρ). ΠΠ°ΠΊ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΡΠ΄ΠΎΠ±ΡΡΠ²Π° ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΈ fn, ΠΈ gm β Π½Π΅ΠΉΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΡΡ Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ½Π΄Π΅ΠΊΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π° ΠΎΠ±Π½ΡΠ»ΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°Π²Π΅Π½ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Π°.
ΠΠΌΠ΅ΡΡΠΎ fn * gm ΠΌΡ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ (fn, gm), ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π² ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅ Π Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΡΠ»ΠΎ Π±Ρ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ -ΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΠΏΠΎΡ ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠ»Π΅Π½Ρ fn * gm ΠΌΠΎΠ³ΡΡ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡΡΡ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ
72
ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΠΊ f ΠΈ g Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ n ΠΈ m ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. Π§ΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ Π β ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ[6], Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡ Π΅ΡΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΠΉ:
ΠΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΠ°, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ Π΄Π²ΡΠΌΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ.
ΠΡΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β ΡΠ°ΡΡΠ½ΡΠΉ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΡ ΠΎ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡΡ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²ΡΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡΡΠ½Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ
β€ Γ ... Γ β€ Γ β€/n1 Γ ... Γ β€/nk
Π³Π΄Π΅ β€ β Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π», a β€/n1 ..., β€/nk β ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΉ β€, ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ°Π½Π³ΠΎΠΌ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ ΠΈ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΡ Π½ΡΠ»Ρ ΡΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΠΠΠ-Π‘Π’Π ΠΠ‘Π‘: Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ Π½Π°Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ. Π Π½ΠΎΡΠ°ΡΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ Π²Ρ ΠΎΠ±ΡΡΡΠ½ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΠ»ΡΠΉ ΡΠ°Π·, ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠΈ f ΠΈ g Π·Π°ΠΏΠΈΡΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΠΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΈΡ Π΄Π²ΡΠΌΡ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ:
ΠΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡΠ΅, ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π² Π½Π°ΡΠ΅ΠΉ ΡΡΡΡΠΊΡΡΡΠ΅ Ρ ΠΎΠ±ΠΎΠ±ΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡΡΡΡ Π½Π° Π΄ΠΎΡΠ΅ΡΠΈ Π±ΡΠ°ΡΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΅ΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈ.
ΠΠΠΠΠ¬: Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° S4, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ f ΠΈ g, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ, ΠΎΠ½Π° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΠ°ΡΡΠ΅Ρ
73
ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° f ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΡΠ΅ΡΠ°Π½ΠΈΠ΅ g Ρ ΡΠ°ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ (/ =
= g2). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΉ. ΠΡΡΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ, ΡΠ°ΠΊ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π°? ΠΠΎΠ²ΡΠ΅ Π½Π΅Ρ: ΡΠΎΡΡΠ°Π²ΠΈΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΠ°, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ f ΠΈ g, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄ΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΠ²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΈ Π±ΡΠ°ΠΊΠ°:
(Mt) ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° Π ΠΈ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π° D
(M2) ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° Π ΠΈ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π° Π‘
(M3) ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° Π‘ ΠΈ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π° Π
(M4) ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° D ΠΈ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π° Π
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΠ»Π°Π½Ρ Π ΠΈ D, ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π ΠΈ Π‘, ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΌΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ Ρ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΌ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ. ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π΄Π΅ΡΠΈ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠ΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°Π½ΠΎΠ² Π, Π, Π‘ ΠΈ D ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΊ ΠΊΠ»Π°Π½Π°ΠΌ Π, A, D ΠΈ Π‘ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ. ΠΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f ΠΈ g ΠΏΡΠ΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ:
ΠΠ±ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ f β ΡΠ° ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ°, ΡΡΠΎ ΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅, Π° ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° g ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»Π°ΡΡ. ΠΠΎ ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡΠΈΡ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡΡΠ°ΡΠΈΠ²Π½Π°: 11
ΠΡΠ»ΠΈΡΠΈΠ΅ ΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ° Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΡΠ΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΠΈ f, ΠΈ g ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΠΌΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠ° (ΡΠ±Π΅Π΄ΠΈΡΠ΅ΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½ΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ΄Π³ΡΡΠΏΠΏΠ°, ΠΏΠΎΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Π°Ρ f ΠΈ g, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π³ΡΡΠΏΠΏ. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π³ΡΡΠΏΠΏΠ° ΠΠ»Π΅ΠΉΠ½Π°!
ΠΠΠΠ-Π‘Π’Π ΠΠ‘Π‘: ΠΡΠ΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΡΠ΅Ρ Π½Π°Ρ, ΡΡΠ½ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎΠ², ΠΏΡΠΈ ΠΈΠ·ΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π±ΡΠ°ΠΊΠΎΠ², Π·Π²ΡΡΠΈΡ ΡΠ°ΠΊ: ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ Π»ΡΠ΄Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π½Π΅ ΡΠ²ΡΠ·Π°Π½Ρ
74
ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠΎΠ΄ΡΡΠ²Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ? ΠΠ±ΡΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π³ΡΡΠΏΠΏΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΠΎΠΏΡΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π² ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, ΡΠΎΡΡΠΎΡΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ΅ΡΡΡΠ΅Ρ ΠΊΠ»Π°Π½ΠΎΠ², ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ ΠΏΡΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ:
(Mt) ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° Π ΠΈ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π° Π
(M2) ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° Π ΠΈ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π° Π
(M3) ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° Π‘ ΠΈ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π° D
(M4) ΠΌΡΠΆΡΠΈΠ½Π° D ΠΈ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Π° Π‘
ΠΠ΅ΡΠΈ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ ΠΊ ΡΠ΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ»Π°Π½Π°ΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΈ ΠΈΡ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΡΠΈ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f ΠΈ g Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΡΡΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π½Π΅ Π»ΠΈΡΠ½ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΡΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ. Π Π±ΡΠ°ΠΊΠ΅ Π1 ΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ ΠΊ ΠΊΠ»Π°Π½Ρ Π, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΊ ΡΡΠΎΠΌΡ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ»Π°Π½Ρ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ ΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅ΡΠΈ. ΠΡΠΆΡΠΈΠ½Π° ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°Π½Π° Π Π²ΡΡΡΠΏΠ°Π΅Ρ Π² Π±ΡΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ M2, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ f(M1) = M2 a g(M1) = M1 ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅Π½ΡΠΈΠ½Ρ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°Π½Π° Π ΠΏΠΎΠ΄ΡΠΈΠ½ΡΡΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»Ρ. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ