Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Β«ΠœΠΈΡ€ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ: m. 35 Пока Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° Π½Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ нас. ВСория Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.Β». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 14

Автор Π₯Π°Π²ΡŒΠ΅Ρ€ ЀрСсан

Π’ ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· я ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π» нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ: ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ рассмотрСли ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ Sy которая прСдставляла собой Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… равносторонний Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ пСрСстановок мноТСства ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… элСмСнтов. ΠœΡ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎ цикличСских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°Ρ… β„€/n β€” ΠΈΡ… элСмСнтами ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, мСньшиС n, Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ β€” Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ видоизмСнСнная опСрация слоТСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ выполняСм, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° смотрим Π½Π° Ρ†ΠΈΡ„Π΅Ρ€Π±Π»Π°Ρ‚ часов, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π° n Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΡΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ мСня: ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π½Π° основС извСстных ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ²? БСйчас я ΠΎΠΏΠΈΡˆΡƒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… способов. Допустим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, G ΠΈ Н. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ *, Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ β€” Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ Β·. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° новая Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π΅ G Γ— H), Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ (g, h), Π³Π΄Π΅ g β€” элСмСнт G, h β€” элСмСнт Н:

G Γ— H = {(g,h): g ∈ G, h ∈ Н}.

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ. Для этого ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ G ΠΈ Н ΠΊ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ элСмСнтам ΠΏΠ°Ρ€. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ (g1, h1) ΠΈ (g2, h2) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (g1 * g2, h1 Β· h2). НСтрудно Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта опСрация удовлСтворяСт Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ условиям опрСдСлСния Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ я ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡŽ Π²Π°ΠΌ Π² качСствС упраТнСния. ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ прямым ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ G ΠΈ Н.

Вычислим Π² качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° прямоС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ цикличСской Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка Π½Π° саму сСбя. Как извСстно, элСмСнты β„€/2 Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ [0] ΠΈ [1], Π° ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ:

[0] + [0] = [0], [0] + [1] = [1],[1] + [0] = [1] ΠΈ [1] + [1] = [0].

Π’Π°ΠΊ, прямоС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ β„€/2 Ρ… β„€/2 Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ:

([0], [0]), ([0], [1]), ([1], [0]) ΠΈ ([1], [1]).

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ ΠΈΠ· этих ΠΏΠ°Ρ€ β€” Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ элСмСнт. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Π΅Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅. Если ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π° = ([0], [1]), b = ([1], [0]) ΠΈ с = ([1], [1]), Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄

70

Π­Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° КлСйна, названная Π² Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ΅Ρ†ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ЀСликса КлСйна (1849β€”1925), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ описал Π΅Π΅ Π² 1884 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π² своих «ЛСкциях ΠΎΠ± икосаэдрС ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ пятой стСпСни» ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ плоскости, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€ΠΎΠΌΠ± ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° содСрТит всСго Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ элСмСнта, Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° β€” ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ смыслС Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ, Π° Ρ€ΠΎΠΌΠ± ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ симмСтричСн, Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ!

Гэуппа ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ€ΠΎΠΌΠ± Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ.

ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ всСх элСмСнтов Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ КлСйна Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡƒΠΌ, поэтому Π½Π° Π΄ΠΈΠ°Π³ΠΎΠ½Π°Π»ΠΈ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ умноТСния записаны Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты. ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнныС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка β€” это цикличСская Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° β„€/4 ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° КлСйна.

Они ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… содСрТит элСмСнты Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ порядка, другая β€” Π½Π΅Ρ‚.

Π›Π•Π’Π˜-БВРОББ: Π― понимаю, ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ Π²Ρ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅, господин Π’Π΅ΠΉΠ»ΡŒ, Π½ΠΎ складываСтся Π²ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚ΠΎΡˆΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ всС это ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊ Π±Ρ€Π°ΠΊΡƒ?

71

Π’Π•Π™Π›Π¬: ΠΠ°Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ тСрпСния! Π― ΡƒΠΆΠ΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² общСствС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ удовлСтворяСт Π΄Π²ΡƒΠΌ нашим условиям, описаниС структуры родства сводится ΠΊ описанию разновидностСй Π±Ρ€Π°ΠΊΠ° Mi ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ f ΠΈ g. Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ условиС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ описываСт Π·Π°ΠΏΡ€Π΅Ρ‚Ρ‹ инцСста ΠΈ, ΠΏΠΎ всСй видимости, выполняСтся Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ…, ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹ писали Π² Β«Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… структурах родства»:

УсловиС 3: ДопускаСтся Π±Ρ€Π°ΠΊ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π΄ΠΎΡ‡Π΅Ρ€ΡŒΡŽ Π±Ρ€Π°Ρ‚Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎ условиС ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ·ΠΈΡ†ΠΈΠΈ f ΠΈ g. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ общСств, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ нашим Ρ‚Ρ€Π΅ΠΌ условиям, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ-Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ симмСтричСской Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ двумя элСмСнтами. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ выглядят эти ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹:

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Н Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ f ΠΈ g. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ случай Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²: ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… элСмСнтов ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, возвСдя Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π² ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π’ этом случаС Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ элСмСнт Π² число ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… элСмСнтов Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ Н Π½Π΅ трСбуСтся: Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ СдинствСнным элСмСнтом, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ f ΠΈ g Π½Π΅ зависят Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, элСмСнтами Н Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅ΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ f ΠΈ g, ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ:

f * g * g * f * g

ΠŸΠΎΡ€ΡΠ΄ΠΎΠΊ слСдования элСмСнтов Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ композиция f ΠΈ g ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Π°, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ свойством ассоциативности, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ равСнство f*g = g*f ΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°Ρ€Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ элСмСнты Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС f ΠΈ всС g Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ располоТСны рядом. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

f*g*g*f*g=f*g*(g*f)*g=f*g*(f*g)*g=f*(g*f)*g*g=f*(f*g)*g*g=f2*g3

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ этот ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π΅Π½ для любого элСмСнта H, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любой элСмСнт Н ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ fn * gm, Π³Π΄Π΅ n ΠΈ m β€” Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа (ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π½ΡƒΠ»ΡŽ). Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, ΠΈΠ· сообраТСний удобства ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ fn, ΠΈ gm β€” Π½Π΅ΠΉΡ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ элСмСнты. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΉ индСкс ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° обнуляСтся, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ стСпСни Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

ВмСсто fn * gm ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ (fn, gm), ΠΏΡ€ΠΈ этом Π² структурС Н Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΡˆΠ»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Ρ‚ΠΎ сущСствСнных ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚Π° опСрация ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ° Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… цикличСских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ fn * gm ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли

72

порядок f ΠΈ g Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС, Ρ‡Π΅ΠΌ n ΠΈ m соотвСтствСнно. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Н β€” это ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… цикличСских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ[6], Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько дСйствий:

ΠŸΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 1. ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Π°Ρ Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°, пороТдСнная двумя элСмСнтами, являСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ цикличСской, Π»ΠΈΠ±ΠΎ прямым ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… цикличСских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” частный случай Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ структурС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΈΠ·ΠΎΠΌΠΎΡ€Ρ„Π½Ρ‹ прямому ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ

β„€ Γ— ... Γ— β„€ Γ— β„€/n1 Γ— ... Γ— β„€/nk

Π³Π΄Π΅ β„€ β€” Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл, a β„€/n1 ..., β„€/nk β€” цикличСскиС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹. Число ΠΊΠΎΠΏΠΈΠΉ β„€, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ, называСтся Ρ€Π°Π½Π³ΠΎΠΌ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ нуля Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° являСтся бСсконСчной.

Π›Π•Π’Π˜-БВРОББ: Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим наш ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π’ Π½ΠΎΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ объяснили Π² ΠΏΡ€ΠΎΡˆΠ»Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, пСрСстановки f ΠΈ g Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ ΠΈΡ… двумя Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ способами:

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΈΡ… композиция ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Π°, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π² нашСй структурС с ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ любой ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π΄ΠΎΡ‡Π΅Ρ€ΠΈ Π±Ρ€Π°Ρ‚Π° своСй ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈ.

Π’Π•Π™Π›Π¬: Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° S4, пороТдСнная f ΠΈ g, являСтся Π°Π±Π΅Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ, ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈΠ±ΠΎ цикличСской, Π»ΠΈΠ±ΠΎ прямым ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… цикличСских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ. Π’ этом случаС расчСт

73

ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ пСрСстановка f опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ сочСтаниС g с самой собой (/ =

= g2). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ситуаций. Π‘Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚, Ρ‚Π°ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ всСгда? ВовсС Π½Π΅Ρ‚: составим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°, пороТдСнная f ΠΈ g, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ прямым ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… цикличСских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ допустимы ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ разновидности Π±Ρ€Π°ΠΊΠ°:

(Mt) ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° А ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π° D

(M2) ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° Π’ ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π° Π‘

(M3) ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° Π‘ ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π° Π’

(M4) ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° D ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π° А

Π’ этом случаС ΠΊΠ»Π°Π½Ρ‹ А ΠΈ D, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π’ ΠΈ Π‘, обмСнялись ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ΠΎΠΌ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Ρ‚ΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΠΉ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°Π½ΠΎΠ² А, Π’, Π‘ ΠΈ D ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΊ ΠΊΠ»Π°Π½Π°ΠΌ Π’, A, D ΠΈ Π‘ соотвСтствСнно. ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ΠΈ g ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f β€” Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ пСрСстановка, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅, Π° пСрСстановка g измСнилась. Но ΠΈ Π² этом случаС ΠΈΡ… композиция ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Π°: 11

ΠžΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈ f, ΠΈ g ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ элСмСнтами Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка (ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² этом), ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ΄Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°, пороТдСнная f ΠΈ g, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… цикличСских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° КлСйна!

Π›Π•Π’Π˜-БВРОББ: Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ вопрос, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ интСрСсуСт нас, этнологов, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ Π±Ρ€Π°ΠΊΠΎΠ², Π·Π²ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ людСй, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ связаны

74

ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ родства ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой? ΠžΠ±Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, называСтся сократимым. Допустим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² элСмСнтарном ΠΏΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ, состоящСм ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… ΠΊΠ»Π°Π½ΠΎΠ², ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΌΠ΅Π½ проводится ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ:

(Mt) ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° А ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π° Π’

(M2) ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° Π’ ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π° А

(M3) ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° Π‘ ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π° D

(M4) ΠΌΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° D ΠΈ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Π° Π‘

Π”Π΅Ρ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΊ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΊΠ»Π°Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΈΡ… ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈ. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ΠΈ g Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π΅ лишним Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ это дСлаСтся. Π’ Π±Ρ€Π°ΠΊΠ΅ М1 ΠΆΠ΅Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΊΠ»Π°Π½Ρƒ Π’, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊ этому ΠΆΠ΅ ΠΊΠ»Π°Π½Ρƒ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Π΅Π΅ Π΄Π΅Ρ‚ΠΈ. ΠœΡƒΠΆΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°Π½Π° Π’ вступаСт Π² Π±Ρ€Π°ΠΊ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ M2, поэтому f(M1) = M2 a g(M1) = M1 Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅Π½Ρ‰ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΈΠ· ΠΊΠ»Π°Π½Π° Π’ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ