Читать онлайн «φ – Число Бога. Золотое сечение – формула мироздания». Страница 11

Вот как выглядит доказательство «от противного» в данном случае. Начнем мы с того, что предположим, что верно противоположное тому, что мы стремимся доказать, а именно предположим, что на самом деле √2 равен какому-то отношению двух целых чисел a и b, то есть √2 = a/b. Если у a и b есть общие делители, как, например, у 9 и 6 есть общий делитель 3, можно упростить эту дробь, разделив числитель и знаменатель на эти делители, пока мы не получим два числа p и q, у которых общих делителей уже нет. (В примере с 9 и 6 это превратит 9/6 в 3/2). Очевидно, что не может быть такого, чтобы и p, и q были четными (иначе у них был бы общий делитель 2). Следовательно, наше предположение состоит в том, что p/q = √2, причем p и q – числа, у которых нет общих делителей. Теперь возводим обе части равенства в квадрат и получаем p2/q2= 2. Далее умножаем обе части равенства на q2 и получаем p2 = 2 q2. Обратите внимание, что правая часть равенства, что совершенно очевидно, четное число, поскольку представляет собой какое-то число q2, умноженное на 2, а это всегда дает четное число. Поскольку p2 равно четному числу, p2 тоже четное число. Однако если квадрат числа – четное число, значит, и само это число тоже четное (напомню, что квадрат – это число, умноженное само на себя, а при умножении нечетного числа на себя результат будет нечетным). Таким образом, мы доказали, что число p – четное. Вспомним, что это значит, что q должно быть нечетным: ведь у p и q нет общих делителей. Однако если p четное число, значит, его можно записать в виде p = 2r, ведь у четного числа должен быть делитель 2. А следовательно, вышеуказанное уравнение p2 = 2 q2 можно записать в виде (2r)2 (мы просто заменили p на 2r), то есть поскольку (2r)2= (2r) × (2r)] 4r2 = 2 q2. Теперь разделим обе части равенства на 2 и получим 2r2 = q2. Однако из этого следует – по тем же логическим выкладкам, которые мы только что применяли, – что q2 – четное число (поскольку равно дважды повторенному другому числу), а следовательно, и q – тоже четное число. Однако отметим, что выше мы доказали, что q должно быть нечетным! Итак, мы пришли к очевидному логическому противоречию – доказали, что число должно быть и четным, и нечетным одновременно. Этот факт показывает, что наше первоначальное предположение – что существуют два целых числа p и q, отношение которых равно √2 – ложно, что и требовалось доказать. Числа вроде √2 – это новый вид чисел, иррациональные числа.

Похожим способом можно доказать, что квадратный корень любого натурального числа, не являющегося полным квадратом (вроде 9 или 16), – иррациональное число. Числа вроде √3 и √5 – иррациональные.

Невозможно переоценить значимость открытия несоизмеримости и иррациональных чисел. До этого открытия математики предполагали, что если у вас есть любые два отрезка, один из которых длиннее другого, всегда можно найти какую-то меньшую единицу, чтобы измерить длины обоих отрезков и получить целое число этих единиц. Если, скажем, один отрезок длиной 21,37 дюймов, а второй – 11,475 дюймов, можно измерить оба в единицах в одну тысячную дюйма, и тогда в первом будет 21 370, а во втором – 11 475 таких единиц. Поэтому древние ученые были убеждены, что подобную общую единицу измерения можно найти всегда, надо только набраться терпения. Открытие несоизмеримости означает, что два отрезка прямой, находящиеся между собой в отношении золотого сечения (АС и СВ на рис. 2), диагональ и сторона квадрата или диагональ и сторона правильного пятиугольника не обладают такой общей единицей измерения, и найти ее невозможно. В 1988 году в журнале «Mathematics Magazine» был опубликован стишок Стивена Кашинга, отражающий нашу естественную реакцию на иррациональные числа:

Нам станет легче осознать, какой огромный интеллектуальный скачок был проделан, чтобы открыть иррациональные числа, если мы поймем, каким судьбоносным открытием (или изобретением) для человечества стали даже дроби – рациональные числа вроде 1/2, 3/5 или 11/13. Живший в XIX веке математик Леопольд Кронекер (1823–1891) выразил свое мнение по этому вопросу следующим образом: «Господь сотворил натуральные числа, а все остальное – измышления человека».

О том, насколько древние египтяне были знакомы с дробями, мы знаем в основном по папирусу Ринда (Ахмеса). Это огромный папирус (18 футов длиной и 12 дюймов шириной), скопированный около 1650 года до н. э. писцом по имени Ахмес с более ранних документов. Найден папирус в Фивах, в 1858 году его приобрел шотландский антиквар Генри Ринд, а сейчас папирус хранится в Британском музее (за исключением нескольких фрагментов, которые неожиданно оказались собранием медицинских документов и сейчас находятся в Бруклинском музее). Папирус Ринда, в сущности, представляет собой справочник счетовода, и простыми словами в нем называются лишь дроби с числителем 1–1/2, 1/3, 1/4 и т. д., – а также 2/3. В некоторых других папирусах есть еще особое название для 3/4. Все прочие дроби древние египтяне выражали в виде суммы дробей с числителем 1. Например, чтобы выразить 4/5, они писали 1/2 + 1/5 + 1/10, а 2/29 выражали как 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232. Чтобы выразить доли меры объема зерна под названием «гекат», древние египтяне применяли так называемые дроби «глаз Гора». Легенда гласит, что в битве между богом Гором, сыном Осириса и Изиды, и убийцей Осириса Сетом Гор потерял глаз, а Сет то ли раздавил его пальцем, то ли наступил на него. Затем бог письма и вычислений Тот нашел части глаза и хотел собрать его. Однако он обнаружил лишь части, которые соответствовали дробям 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64. Тот подсчитал сумму и выяснил, что собрал лишь 63/64 глаза, и тогда он наколдовал оставшуюся 1/64, что и позволило ему восстановить глаз.

Как ни странно, египетская система дробей с числителем 1 еще много столетий применялась и в Европе. В эпоху Возрождения составители учебников по математике приводили для тех, кому было трудно запомнить, как складывать и вычитать дроби, стихотворные правила. Забавный пример приводит Томас Хиллес в книге «Искусство популярной арифметики в целых числах и в дробях» (Thomas Hylles. The Art of Vulgar Arithmetic, both in Integers and Fractions), вышедшей в 1600 году.

Несмотря на завесу тайны, которая окутывала Пифагора и содружество пифагорейцев, а может быть (в некоторой степени), и благодаря ей, пифагорейцам стремились приписать некоторые значительные математические открытия, в число которых входят и золотое сечение, и несоизмеримость. Однако если учесть колоссальный авторитет и успехи математиков Древнего Египта и Вавилона, а также то обстоятельство, что и сам Пифагор, вероятно, учился математике в Египте и Вавилоне, можно задаться вопросом: быть может, эти (или еще какие-нибудь) цивилизации открыли золотое сечение еще до пифагорейцев? Особенно интересным этот вопрос покажется, когда мы обнаружим, как много книг и статей написано о том, что золотое сечение обнаруживается в параметрах Великой пирамиды Хеопса в Гизе. Чтобы найти ответ, нам придется предпринять исследовательскую экспедицию в область археологической математики.

Название этой главы позаимствовано из «Посвящения Шекспиру» великого английского поэта Джона Мильтона (1608–1674). Мильтон, которого считали вторым по гениальности поэтом после Шекспира, писал:

Как мы вскоре убедимся, пирамиды и в самом деле ориентировали по звездам. Однако многим писателям, похоже, оказалось мало того, что эти сооружения сами по себе столь грандиозны: они настаивают, что параметры великих пирамид основаны на золотом сечении. Для всех поклонников золотого сечения подобная связь лишь добавляет загадочности, которая в целом свойственна числу φ. Но правда ли это? Знали ли древние египтяне о числе φ – и если да, сознательно ли они обессмертили его, создав на его основе одно из Семи чудес света?