Читать онлайн «Трехмерный мир. Евклид. Геометрия». Страница 4

Авторство «Катоптрики» весьма спорно. Тем не менее необходимо сказать, что в ней приведено строгое геометрическое доказательство закона отражения света. Он гласит, что солнечные лучи отражаются под равными углами относительно горизонтальной (или вертикальной) оси. На примере рисунка 1 угол падения 0 равен углу отражения Евклид основывается на геометрическом предложении из Книги 1 «Начал»:

РИС.1

РИС. 2

Предложение 20 .В любом треугольнике сумма двух его сторон больше третьей стороны.

Оно доказывается следующим образом. Если отраженный луч образует два равных угла, мы получим отрезки АС и СВ\ если же эти углы не равны, то мы получим отрезки AD и DB. Проведем прямую СЕ, симметричную отрезку АС, и прямую DE, симметричную отрезку AD. Получим треугольник BED, где сторона BE короче суммы сторон BD и DE. Сумма отрезков АС и СВ меньше, чем сумма AD и DB (см. рисунок 2).

Доказав, что луч по закону отражения всегда проходит наиболее короткий путь между точками А, С и В, Евклид выдвигает интереснейшую гипотезу: сама природа заставляет луч выбирать именно этот, самый короткий путь, следуя так называемому принципу наименьшего времени.

При помощи такого изящного доказательства Евклид выдвинул важнейшую идею: в законах природы всегда задействованы минимальные величины. Это значит, что физическая величина, указанная в задаче, например расстояние, затраченное время, энергия и так далее, всегда будет настолько мала, насколько это возможно. Много веков спустя Пьер Ферма (1601-1665), вероятно, обратился к этой мысли, чтобы сформулировать закон отражения света, который описывает трансформации луча солнца, проходящего через разные среды: сначала через воздух, а затем через воду. Ферма утверждал, что его «путь будет тем, который он преодолеет за меньшее количество времени». Эта гипотеза гениального французского математика была подтверждена Готфридом Лейбницем (1646-1716): он использовал ее для доказательства важности дифференциального исчисления, которое применяется в том числе для нахождения наибольших и наименьших величин. Основываясь на общем принципе определения наименьших величин, швейцарский ученый Леонард Эйлер (1707-1783) создал новую область математики — вариационное исчисление. Но окончательно сформулировал этот основополагающий закон природы Пьер Луи Моро де Мопертюи, назвав его принципом наименьшего действия.

Наконец, Евклиду приписываются два сочинения по механике, цитируемые арабскими переводчиками «Начал», но на самом деле их авторство неясно. «О легкости и тяжести» содержит самое точное изложение аристотелевской динамики свободно движущихся тел, дошедшее до наших дней; «О рычаге», напротив, описывает теорию равновесия, независимую от аристотелевской механики.

ГЕОГРАФИЯ ДРЕВНЕГРЕЧЕСКОЙ МАТЕМАТИКИ

Мыслители, чьи достижения собрал и дополнил Евклид, а также основные комментаторы его сочинений составляют целую плеяду математиков и философов-математиков, рассеянных по Греции и колониям на берегах Ионического моря, в Египте и в других местах Африки и Азии. Карта древнегреческой математики охватывает территорию от Сицилии до Ближнего Востока, включая современные Италию, Ливию и Турцию, с центром в самой Греции — Пелопоннесе, Аттике, Фессалии, Македонии и островах Эгейского моря. Наибольшая концентрация математиков была на востоке Эллады.

Объединяющий фактор всех этих мыслителей, дающий нам право называть их древнегреческими философами и математиками, — язык, письменный и устный. Это аркадо-кипрский, дорийский, эолийский или ионийский диалекты древнегреческого языка, в зависимости от места рождения ученого. В конце III века до н. э. появилась новая разновидность аттического диалекта — койне («общий язык»), широко использовавшийся в эллинистическом мире. Он обошел македонский, начавший распространяться при Александре Македонском. Иногда койне называют эллинистическим греческим, ведь именно от него произошел современный греческий язык. На койне написаны «Начала» Евклида.

Места, где родились древнегреческие философы и математики Территория Город Имя Период Сицилия 1. Сиракузы Архимед 287-212 до н. э. Италия 2. Рим Боэций 480-524 до н. э. 3. Элея Парменид 570-470 до н. э. Зенон 490-430 до н. э. 4. Кротоне Филолай ок. 470-385 до н. э. Аристей Старший 370-300 до н. э. 5. Таранто Брисон ок. 450-390 до н. э. Архит 428-347 до н. э. 6. Метапонт Гиппас 574-522 до н. э. Ливия 7. Кирена Феодор 427-347 до н. э. Эратосфен 276-194 до н. э. Пелопоннес 8. Элида Гиппий 465 - ок. 396 до н. э. 9. Афины Антифонт 480-411 до н. э. Сократ ок. 469-399 до н. э. Платон 427-347 до н. э. Теэтет 417-369 до н. э. Плутарх V ВЕК 10.Херонея Плутарх ок. 45-127 до н. э. Македония 11. Менде Филипп IV—III века до н. э. 12. Стагира Аристотель 384-322 до н. э. 13. Абдера Демокрит 460-370 до н. э. Турция 14. Византий Прокл 412-485 15. Кизик Менехм 380-320 до н. э. 16. Киликия Симпликий 490-560 17. Питана Автолик 360-290 до н. э. 18. Колофон Гермотим IV век до н. э. 19. Клазомены Анаксагор 500-428 до н. э. 20. Траллы Антемий   21. Эфес Гераклит 544-483 до н. э. 22. Милет Фалес ок. 624 - ок. 545 до н. э. Анаксимандр ок. 610-540 до н. э. 23. Перге Аполлоний 262-190 дон. з.   24. Исаврия Леонт V ВЕК до н. э. 25. Фасос Леодамант IV ВЕК до н. э. 26. Хиос Энопид ок. 500-420 до н. э. Гиппократ ок. 470-410 до н. э. 27. Самос Пифагор 570-490 до н.э. Мелисс ок. 485 - ок. 425 до н. э. Конон Ill век до н. э. 28. Родос Евдем ок. 370-300 до н. э. 29. Книд Евдокс ок. 408 - ок. 355 до н. э. Египет 30.Александрия Гипсикл ок. 190 - ок. 120 до н. э. Герои ок. 10-70 Птолемей ок. 100-170 Диофант ок. 201 - ок. 285 до н. э. Папп ок. 290 - ок. 350 Теон ок. 335 - ок. 405 Сириан ок. 380 - ок. 437 31.Гераса Никомах ок. 60 - ок. 120

К тому моменту, когда Евклид стал знаменитым, многочисленные мыслители уже внесли важный вклад в развитие математики и подготовили почву для расцвета геометрии, основой которого также стали труды современников Евклида — Архимеда и Аполлония.