Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ «АлСксСй Π’Π°ΡΠΈΠ»ΡŒΠ΅Π²ΠΈΡ‡ Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² (1887β€”1970)Β». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 14

Автор Н. Π‘Π΅Π»ΠΎΠ²

ΠŸΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ рассмотрим Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ направлСния развития Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ симмСтрии Π² Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°Ρ… А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ послСдоватСлСй ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΌ самым ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΠΌ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°, Π½ΠΎ ΠΈ пСрспСктивы развития ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ области Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅ΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.

Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ событиСм Π±Ρ‹Π» Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ Π² свСт ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° «БиммСтрия» [132], носившСй ΠΏΠΎΠ΄Π·Π°Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΊ: Β«Π—Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ симмСтрии ΠΈ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅, Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΊΠ»Π°Π΄Π½ΠΎΠΌ искусствС». Π’ этой ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² фокусС, собраны всС извСстныС Π² Ρ‚ΠΎ врСмя достиТСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ симмСтрии. Π’Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ (Π²ΠΎ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ) Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ понятиС равСнства ΠΊΠ°ΠΊ основу гСомСтричСской закономСрности ΠΈ учСния ΠΎ симмСтрии, ΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ понятиС симмСтрии: Β«ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ симмСтричным Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ состоит ΠΈΠ· гСомСтричСски ΠΈ физичСски Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… частСй, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ располоТСнных ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°Β» [132, с. 8]. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΆΠ΅ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ отклонСния ΠΎΡ‚ симмСтрии ΠΈ высказываСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Β«ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅ΡΡ‚Π²Π° симмСтрии ΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ услугу Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΊΠ΅ вопросов симмСтрии...Β». Π’ нСбольшом ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅ «БиммСтрия ΠΊΠ°ΠΊ особый Ρ€ΠΎΠ΄ гСомСтричСской закономСрности» ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ истоки ΠΏΠΎ мСньшСй ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΡˆΠΈΡ… Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π΄Π½Π΅Π΅: ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° симмСтризации-диссиммСтризации, Ρ‡Π΅Ρ€Π½ΠΎ-Π±Π΅Π»ΠΎΠΉ симмСтрии ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠ° построСния «составных Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΒ», Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ Π²Ρ‹Π»ΠΈΠ²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Π² W-ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡŽ ΠšΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΊΠ°.

Автор ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ рассматриваСт основныС Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ симмСтричных ΠΊΠΎΠ½Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ начиная с односторонних Ρ€ΠΎΠ·Π΅Ρ‚ΠΎΠΊ. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°: Β«ΠžΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½Π΅ΠΉ Ρ€ΠΎΠ·Π΅Ρ‚ΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ имССтся хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° особСнная полярная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄Π½Π° особСнная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Β» [132, с. 32]. По классификации Π₯ΠΎΠ»Π·Π΅Ρ€Π°β€”Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°β€”Π‘ΠΎΠΌΠ°, односторонниС Ρ€ΠΎΠ·Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ символ G20. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл ΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° вопросах классификации Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ² Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ одностороннСй Ρ€ΠΎΠ·Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ содСрТит ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° классификационныС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ, основанныС Π½Π° особых элСмСнтах пространства. Π’ нСявной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ это ΡƒΡ‡Ρ‚Π΅Π½ΠΎ ΠΈ А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π² Π΅Π³ΠΎ Β«Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈΒ», ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ извСстноС Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° мноТСство Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ с ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтриСй Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π½Π° односторонниС Ρ€ΠΎΠ·Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ, Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ с особСнной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ (Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС с особСнной ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ Π±Π΅Π· Π½Π΅Π΅), Π±ΠΎΡ€Π΄ΡŽΡ€Ρ‹, Π»Π΅Π½Ρ‚Ρ‹, стСрТни, сСтчатыС ΠΎΡ€Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹, слои ΠΈ фСдоровскиС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹. ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΊ классификационных ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΎΠ² Π±Ρ‹Π» Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ А. Ниггли ΠΈ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ Н. Π’. Π‘Π΅Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΈ Н. Н. НСроновой. Однако, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΎ Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ [263β€”265], Π₯ΠΎΠ»Π·Π΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ Π‘ΠΎΠΌΠΎΠΌ, ΠΈΡ… схСма оказалась Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΠΌΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ ΠΊΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΡ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ ΠΏΠΎ размСрности соподчинСнных особСнных элСмСнтов, ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии. Π’ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ подробная систСматика Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π½ΠΎ-Π±Π΅Π»ΠΎΠΉ симмСтрии Π±Ρ‹Π»Π° построСна Н. Н. НСроновой.

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ с особСнной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, символ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… G30. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΊΡƒΠ±Π° Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ прСдставлСниС ΠΎ симмСтричных разновидностях простых Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послуТило Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‡ΠΊΠΎΠΌ для Π“. Π‘. Бокия ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ 146 (193) физичСски Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… простых Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ кристаллов, Π° впослСдствии ΠΊ появлСнию 1403 структурногранных разновидностСй простых Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… И. И. Шафрановским.

Π’ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ фактичСски Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Ρ‹ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ односторонних Ρ€ΠΎΠ·Π΅Ρ‚ΠΎΠΊ G20, двусторонних Ρ€ΠΎΠ·Π΅Ρ‚ΠΎΠΊ G320, Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ G30 ΠΈ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ β€” ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ симмСтрии ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ для классификации Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ содСрТатся Π½Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ для развития Π² дальнСйшСм Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ симмСтрии Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ Ρ‚Π΅Π½Π·ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΠΎ сущСствСнноС влияниС Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ вопросы физичСской кристаллографии ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ рассмотрСно ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ посвящСн Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°ΠΌ Π±Π΅Π· особСнной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ Π±ΠΎΡ€Π΄ΡŽΡ€Π°ΠΌ Β«ΠΊΠ°ΠΊ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°ΠΌ Π±Π΅Π· особСнных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, Π½ΠΎ с особСнной полярной ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ СдинствСнной осью пСрСноса» [132, с. 72]. ВсСго Π²Ρ‹Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ 7 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ G2I. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π»Π΅Π½Ρ‚Ρ‹ G321 ΠΊΠ°ΠΊ Β«Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ с особСнной (полярной ΠΈΠ»ΠΈ нСполярной) ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ось пСрСносов» [132, с. 76, 77], Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ 31 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡƒ G321 ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствСнно Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π»Π΅Π½Ρ‚, рассматриваСмых ΠΊΠ°ΠΊ стСрТнСвыС Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ 22, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ β€” это Β«Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π±Π΅Π· особСнных Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΈ плоскостСй, Π½ΠΎ с СдинствСнным особСнным Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌΒ» [132, с. 81]. ΠŸΠΎΠΏΡƒΡ‚Π½ΠΎ Π² этом ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅ рассмотрСна типология Π²ΠΈΠ½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… осСй симмСтрии, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π²ΠΈΠ½Ρ‚ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ оси с бСсконСчным элСмСнтарным пСрСносом. На основС комбинирования дискрСтных ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтов симмСтрии Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π° типология ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии стСрТнСй, Π² Ρ‚ΠΎΠΌ числС 7 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ, ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… 5 ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ дискрСтной трансляциСй; бСсконСчноС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅ стСрТнСвых Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ с Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ трансляциСй ΠΈ дискрСтной Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ ΠΈ с ΠΎΠ±ΠΎΠΈΠΌΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ элСмСнтами. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΆΠ΅ доказываСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ любоС симмСтричноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ пространства ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ отраТСниями максимум Π² Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ… плоскостях, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ сами ΠΏΠΎ сСбС Π½Π΅ обязаны Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ плоскостями симмСтрии. Π­Ρ‚ΠΎ выводится ΠΈΠ· утвСрТдСния Π“. Π’. Π’ΡƒΠ»ΡŒΡ„Π° ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π΅Π½ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ плоскости симмСтрии срСди ΠΏΡ€ΠΎΡ‡ΠΈΡ… симмСтричных ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ Π‘ΠΎΠ»Π΄Ρ‹Ρ€Π΅Π²Π°. На основС этого Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния прСдлагаСтся Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ симмСтрии: Β«Π‘ΠΈΠΌΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ называСтся всякая Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π°, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΎΠ²ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ сама с собой Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² плоскостях» [32, с. 97].

Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ сначала 17 Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ G2, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ список всСх 8G Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии слоСв G32, ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… рисунками, ΠΊΠΎΡ‡ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠ· Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π² Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ с Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ нарисованы Π’Π΅Π±Π΅Ρ€ΠΎΠΌ.

А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ симмСтрии Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ€Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈ. Π’ этом ΠΆΠ΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π³Ρ€Π°Ρ„Π΅ Π΄Π°Π½Π° фактичСски сводка ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠ², Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ пСрСносами ΠΈ смСТных ΠΏΠΎ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌ, ΠΏΠ»Π°Π½ΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠ², Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² любом ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹Ρ… плоских ΠΈΠ·ΠΎΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ² :β€” ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ², Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… сходится ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΎΠ². Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΌΠ° Π² творчСствС А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ свою ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΈ заслуТиваСт ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ рассмотрСния [132, с. 58]. Π”Π°Π»Π΅Π΅ Π°Π²Ρ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ 7 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии плоских односторонних сСмиконтинуумов, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ слоСвым Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°ΠΌ ΠΈ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΠΈΠ½ΡƒΡƒΠΌΠ°ΠΌ ΠΈ сСмиконтинуумам (31 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ°). ΠŸΡ€ΠΈ вСсьма схСматичном рассмотрСнии фСдоровских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ обусловлСно объСмом ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° нСпрофСссионалов, ΡƒΠ΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ ΡƒΠΏΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΊΠ°ΠΌ (ΠΏΠΎ Н. Π’. Π‘Π΅Π»ΠΎΠ²Ρƒ), Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ параллСлоэдров ΠΈ стСрСоэдров, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΠΈΠ½ΡƒΡƒΠΌΠΎΠ² ΠΈ сСмиконтинуумов.

Анализируя ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ симмСтрии, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «БиммСтрия» А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° β€” явлСниС ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ, Ссли Π½Π΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎ ΠΎΡ€Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ упорядочСнных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ Π² ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅, собствСнно симмСтрии ΠΈ Π΅Π΅ проявлСниям Π² ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Π΅ Π² самом ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠΌ смыслС этого слова посвящСны, ΠΏΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉ, лишь Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Π΅Π³ΠΎ учитСля Π“. Π’. Π’ΡƒΠ»ΡŒΡ„Π°. Волько Π² 50β€”60-Ρ… Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ… нашСго столСтия появились многочислСнныС ΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ этому вопросу, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… сопоставимой ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΡƒΡŽ Π² 1968 Π³. Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ Π“. ВСйля «БиммСтрия», Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°, Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠ΅Π΅ Π² соавторствС с Π’. А. ΠšΠΎΠΏΡ†ΠΈΠΊΠΎΠΌ [344].

Π’ 1940 Π³. ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»Π° свСт написанная совмСстно с Π“. Π‘. Π‘ΠΎΠΊΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π•. Π•. Π€Π»ΠΈΠ½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° Β«ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Ρ‹ кристаллографии» [134], Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ²ΡˆΠ°Ρ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ряд Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΠ² Π½Π°ΡˆΠΈΡ… соотСчСствСнников: Π•. Π‘. Π€Π΅Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ²Π°, Π’. И. ВСрнадского, Π‘. Н. Π”Π΅Π»ΠΎΠ½Π΅, А. Π”. АлСксандрова, Π±Π΅Π·Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π²ΡˆΠ΅Π³ΠΎΡΡ Π’. Π’. Π”ΠΎΠ»ΠΈΠ²ΠΎ-Π”ΠΎΠ±Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΡŒΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ, А. К. Π‘ΠΎΠ»Π΄Ρ‹Ρ€Π΅Π²Π° ΠΈ Π΄Ρ€.

Начиная с ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ [132], А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ² систСматичСски дополняСт ΠΈ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠΌ систСму ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии., ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Π²ΡˆΡƒΡŽΡΡ ΠΎΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ символики, Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ К. Π“Π΅Ρ€ΠΌΠ°Π½Π½ΠΎΠΌ Π² 1929 Π³. ΠΈ Π¨. МогСном Π² 1931 Π³.

Рассмотрим ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтрии Π² Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°Ρ… А. Π’. Π¨ΡƒΠ±Π½ΠΈΠΊΠΎΠ²Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π»Π΅Π³, гСнСзис антисиммСтрии ΠΈ Π΅Π΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ, Ρ€Π°Π·Π²ΠΈΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ симмСтрии подобия.

Π’ АтласС кристаллографичСских Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии [150] Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π² отСчСствСнной Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³ всСх Π² Ρ‚ΠΎ врСмя извСстных дискрСтных Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ симмСтрии, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² самих названиях ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ физичСскиС прилоТСния рассматриваСмых Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ.

Π’ «АтласС» Π΄Π°Π½Ρ‹ изобраТСния: 10 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ (G20); 31 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠ° симмСтрии Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ Π΄Π²ΡƒΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… кристаллов (Ρ‚Π°Π±Π»Π΅Ρ‚ΠΊΠΈ G320); 32 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΡ‹ симмСтрии Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ кристаллов (G30); 7 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€ (Π±ΠΎΡ€Π΄ΡŽΡ€ΠΎΠ² G21); 29 полярных стСрТнСвых Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ, входящих Π² состав 75 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии рядов (G31); 17 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии Π³Ρ€Π°Π½Π΅ΠΉ (G2); 80 Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ симмСтрии слоСв (G32); 230 пространствСнных Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏ G3.