Читать онлайн «Космос: Эволюция Вселенной, жизни и цивилизации». Страница 87

Ограниченная (хотя и амбициозная) программа исследования планет беспилотными аппаратами обойдется недорого. Расходы Соединенных Штатов на космические исследования огромны. Сравнительные затраты в Советском Союзе в несколько раз больше. Вместе эти бюджеты соответствуют примерно стоимости двух или трех атомных подводных лодок в десять лет или годовому перерасходу средств при создании лишь одной из многих систем вооружения. В последнем квартале 1979 года стоимость американской программы по созданию истребителя-штурмовика F/A-18 была увеличена на 5,1 миллиарда долларов, а истребителя F-16 — на 3,4 миллиарда. На все беспилотные программы исследования планет с самого начала освоения космоса Соединенными Штатами и Советским Союзом вместе было потрачено значительно меньше средств, чем, к примеру, в период с 1970 по 1975 год на позорные бомбардировки Камбоджи — акт национальной политики, который обошелся США в 7 миллиардов долларов. Общая стоимость такой программы, как полет «Викингов» на Марс или «Вояджеров» во внешние районы Солнечной системы, меньше затрат на советское вторжение в Афганистан. Благодаря росту занятости в технических отраслях и стимуляции высоких технологий деньги, израсходованные на космические исследования, положительно воздействуют на экономику. Имеются данные о том, что каждый доллар, потраченный на изучение планет, возвращает в национальную экономику семь долларов. Есть множество важных и вполне осуществимых задач, к решению которых не приступали в связи с недостатком средств. Среди них самоходные роверы, странствующие по поверхности Марса, встречи с кометами, зонды для входа в атмосферу Титана и полномасштабный поиск радиосигналов от других космических цивилизаций[238].

Стоимость крупных космических начинаний, таких как создание постоянной базы на Луне или исследование Марса с участием человека, настолько велика, что их, я полагаю, не удастся осуществить в ближайшем будущем, если только мы не достигнем впечатляющего прогресса в ядерном разоружении и сокращении «обычных» вооружений. Но даже тогда у нас, вероятно, найдутся более насущные дела на Земле. Однако я не сомневаюсь в том, что, если нам удастся избежать самоуничтожения, мы рано или поздно возьмемся за эти миссии. Общество не может пребывать в статическом состоянии. Здесь правомерно говорить о своего рода психологических сложных процентах[239]: даже небольшой сдвиг в сторону экономии, уклонение от исследования Космоса через много поколений приведет к существенному спаду. И наоборот, самые скромные вложения в деятельность вне Земли, в то, что мы, перефразируя Колумба, могли бы назвать «звездным предприятием», приведет через много поколений к значительному распространению людей по другим мирам, радости соприкосновения с Космосом.

Около 3,6 миллиона лет назад там, где сейчас находится Северная Танзания, произошло извержение вулкана, и выброшенное облако пепла покрыло окружающую саванну. В 1979 году палеонтолог Мэри Лики обнаружила в этом пепле следы ног — следы, которые, как она считает, принадлежит древнему гоминиду, возможно, предку всех людей, живущих сегодня на Земле. А в 380 000 километров на плоской, сухой равнине, которую люди в порыве оптимизма назвали Морем Спокойствия, есть другой отпечаток, оставленный первым человеком, ступившим на поверхность другого мира. Мы далеко забрались за прошедшие 3,6 миллиона лет. И за 4,6 миллиарда. И за 15 миллиардов.

Мы воплощаем собой Космос, достигший самосознания. Мы начали пристально вглядываться в наше происхождение: звездное вещество, размышляющее о звездах; упорядоченные системы из десяти миллиардов миллиардов атомов, изучающие эволюцию атомов, прослеживающие долгий путь, который, по крайней мере здесь, привел к появлению сознания. Мы привязаны к нашему виду и к нашей планете. Мы отвечаем за Землю. Мы обязаны выжить не только ради самих себя, но также ради того древнего и огромного Космоса, который нас породил.

Найденное пифагорейцами доказательство иррациональности квадратного корня из двух опирается на аргумент, называемый rеductio ad absurdum — приведение к абсурду: мы принимаем за истину некоторое утверждение, выводим следствия из него, наталкиваемся на противоречие и тем самым устанавливаем ложность посылки. В качестве современного примера рассмотрим афоризм великого физика ХХ столетия Нильса Бора: «Противоположность любой глубокой идеи является другой глубокой идеей». Если это утверждение истинно, у него могут найтись довольно опасные следствия. Представьте, например, отрицание золотого правила[240], заповеди, запрещающей лгать, или заповеди «Не убий». Поэтому давайте разберемся, является ли сам афоризм Бора глубокой идеей. Если это так, то противоположный ему тезис: «Противоположность любой глубокой идеи не является другой глубокой идеей» — тоже должен быть истинным. Тем самым мы достигли reductio ad absurdum. Поскольку обратное утверждение ложно, данный афоризм не должен нас сковывать, ибо в соответствии с ним же самим он не является глубокой идеей[241].

Мы приведем современную версию доказательства иррациональности квадратного корня из двух, опирающуюся на reductio ad absurdum и простые алгебраические выкладки, а не чисто геометрическое доказательство, открытое пифагорейцами. Стиль доказательства и способ размышления не менее интересны, чем получаемый результат.

Рассмотрим квадрат со стороной, равной единице (одному сантиметру, одному дюйму, одному световому году — не суть важно).

Диагональ ВС делит квадрат на два прямоугольных треугольника. В таких прямоугольных треугольниках, согласно теореме Пифагора, 12 + 12 = х2. Поскольку 12 +12 = 1 + 1 = 2, то х2 = 2, и мы можем записать, что х = √2, то есть корню квадратному из двух. Предположим, что √2 является рациональным числом, то есть √2 = p/q, где p и q — целые числа. Они могут быть любыми, сколь угодно большими, но обязательно целыми числами. Мы, конечно, потребуем, чтобы у них не было общих делителей. Если мы, например, заявляем, что √2 = 14/10, то, безусловно, можем сократить эту дробь на множитель 2 и записать: p = 7, q = 5 вместо p = 14, q = 10. Будем далее считать, что у числителя и знаменателя сокращены все общие множители. Для выбора значений p и q y нас остается бесконечное число вариантов. Возведя в квадрат равенство √2 = p/q, получим: 2 = р2/q2, или после домножения обеих частей на q2:

p2 = 2q2 (1)

Таким образом, р2 представляет собой некоторое число, умноженное на 2. Однако квадрат любого нечетного числа является нечетным числом (12 = 1,32 = 9,52 = 25,72 = 49 и т. д.). Получается, что само число ρ должно быть четным, то есть можно записать ρ = 2s, где s — некоторое целое число. Подставив его в уравнение (1), находим:

p2 = (2s)2 = 4s2 = 2q2.

Деление обеих частей последнего равенства на 2 дает: g 2 = 2s 2. То есть q 2 тоже является целым числом, и, опираясь на тот же аргумент, что был использован для р, мы заключаем, что q тоже является четным. Но если числа p и q оба делятся на два, значит, они содержат несокращенный общий делитель, что противоречит нашему предположению. Reductio ad absurdum. Но в чем состояло предположение? Доказательство не может запретить нам сократить общие множители, разрешив использовать 14/10, но запретив 7/5. Поэтому ошибочным должно быть начальное предположение: p и q не могут быть целыми числами, a √2 является иррациональным числом. В действительности √2 = 1,4142135…

Насколько ошеломляющее и неожиданное заключение! Какое элегантное доказательство! Но пифагорейцы считали необходимым скрывать это великое открытие.

Правильный многоугольник — это двумерная фигура с определенным числом η одинаковых сторон. В случае η = 3 получается равносторонний треугольник, при η = 4 — квадрат, при η = 5 — правильный пятиугольник и т. д. Многогранник — это трехмерная фигура, все стороны которой являются многоугольниками. Например, куб имеет шесть квадратных граней. Правильным называют многогранник, все грани которого представляют собой одинаковые правильные многоугольники, причем в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Для работ пифагорейцев и Кеплера фундаментальное значение имеет факт, что существует пять, и только пять, правильных тел. Простейшее доказательство этого факта можно получить из открытого значительно позже Декартом и Леонардом Эйлером соотношения, связывающего число граней F, число ребер Е и число вершин И в любом многограннике: