Читать онлайн «Гидравлика». Страница 9

Усредненная скорость

Ясно, что в любой точке живого сечения любую мгновенную скорость и можно разложить на ux, uy, uz компоненты.

Мгновенная скорость определяется по формуле:

Полученную скорость можно назвать скоростью, усредненной по времени, или средней местной эта скорость ux – фиктивно постоянная и позволяет судить о характеристике потока.

Вычислив uy,ux можно получить вектор усредненной скорости

Касательные напряжения τ = τ + τ ,

определим и суммарное значение касательного напряжения τ. Поскольку это напряжение возникает из-за наличия сил внутреннего трения, то жидкость считают ньютоновой.

Если предположить, что площадь соприкосновения – единичная, то сила сопротивления

где μ – динамическая вязкость жидкости;

dυ/dy – изменение скорости. Эту величину часто называют градиентом скорости, или скоростью сдвига.

В настоящее время руководствуются выражением, полученным в вышеупомянутом уравнении Прандтля:

где ρ– плотность жидкости;

l– длина пути, на котором рассматривается движение.

Без вывода приводим окончательную формулу для пульсационной «добавки» касательного напряжения:

Неизвестный вид зависимости определяется по методу размерностей. Для этого существует π-теорема: если некоторая физическая закономерность выражена уравнением, содержащим к размерных величин, причем оно содержит п величин с независимой размерностью, то это уравнение может быть преобразовано в уравнение, содержащее (к-п) независимых, но уже безразмерных комплексов.

Для чего определимся: от чего зависят потери напора при установившемся движении в поле сил тяжести.

Эти параметры.

1. Геометрические размеры потока:

1) характерные размеры живого сечения l1l2;

2) длина рассматриваемого участка l;

3) углы, которыми завершается живое сечение;

4) свойства шероховатости: Δ– высота выступа и lΔ – характер продольного размера выступа шероховатости.

2. Физические свойства:

1) ρ – плотность;

2) μ – динамическая вязкость жидкости;

3) δ – сила поверхностного натяжения;

4) Еж – модуль упругости.

3. Степень интенсивности турбулентности, характеристикой которой является среднеквадратичное значение пульсационных составляющих δu.

Теперь применим π-теорему.

Исходя из приведенных выше параметров, у нас набирается 10 различных величин:

l, l2, Δ, lΔ, Δp, μ, δ, Eж,δu, t.

Кроме этих, имеем еще три независимых параметра: l1, ρ, υ. Добавим еще ускорение падения g.

Всего имеем к = 14 размерных величин, три из которых независимы.

Требуется получить (ккп) безразмерных комплексов, или, как их называют π-членов.

Для этого любой параметр из 11, который не входил бы в состав независимых параметров (в данном случае l1, ρ, υ), обозначим как Ni, теперь можно определить безразмерный комплекс, который является характеристикой этого параметра Ni, то есть i-тый π-член:

Здесь углы размерности базовых величин:

общий вид зависимости для всех 14 параметров имеет вид:

При ламинарном движении (если оно равномерное) ни живое сечение, ни средняя скорость, ни эпюра скоростей по длине не меняются со временем.

При равномерном движении пьезометрический уклон

где l1– длина потока;

hl– потери напора на длине L;

r0d – соответственно радиус и диаметр трубы.

В формуле (2) безразмерный коэффициент λ называют коэффициентом гидравлического трения или коэффициентом Дарси.

Если в (2) d заменить на гидравлический радиус, то следует

Введем обозначение

тогда с учетом того, что

гидравлический уклон

Эту формулу называют формулой Шези.

называется коэффициентом Шези.

Если коэффициент Дарси λ – величина безразмерр

ная, то коэффициент Шези с имеет размерность

Определимся с расходом потока с участием коэфф

фициента Шези:

Преобразуем формулу Шези в следующий вид:

Величину

называют динамической скоростью

Понятие о подобии. Гидродинамическое моделирование

Для исследования вопросов сооружения гидроэлектростанций применяют метод гидравлических подобий, суть которого состоит в том, что в лабораторных условиях моделируются точно такие же условия, что и в натуре. Это явление называют физическим моделированием.

Например, чтобы два потока были подобными, требуется их:

1) геометрическое подобие, когда

где индексы н, м соответственно означают «натура» и «модель».

Однако, отношение

что значит, относительная шероховатость в модели такая же, как и в натуре;

2) кинематическое подобие, когда траектории соответствующих частиц, соответствующие линии тока подобны. Кроме того, если соответствующие части прошли подобные расстояния lн, lм, то отношение соответствующих времен движения выглядит следующим образом

где Mi – масштаб времени

Такое же сходство имеется для скорости (масштаб скорости)

и ускорения (масштаб ускорения)

3) динамическое подобие, когда требуется, чтобы соответствующие силы были подобными, например, масштаб сил

Таким образом, если потоки жидкости механически подобны, то они подобны гидравлически; коэффициенты Ml, Mt, Mυ, Mp и прочие называются масштабными множителями.

Условия гидродинамического подобия требуют равенства всех сил, но это практически не удается.

По этой причине, подобие устанавливают по какой-нибудь из этих сил, которая в данном случае преобладает. Кроме того, требуется выполнение условий однозначности, которые включают в себя пограничные условия потока, основные физические характеристики и начальные условия.

Рассмотрим частный случай.

Преобладает влияние сил тяжести, например, при течении через отверстия или водосливы

P = ρgW. (1)

Если перейти к взаимоотношению Pн и Pм и выразить его в масштабных множителях, то

После необходимого преобразования, следует

Если теперь совершить переход от масштабных множителей к самим отношениям, то с учетом того, что l – характерный размер живого сечения, то

В (4) комплекс υ2/gl называется критерием Фруди, который формулируется так: потоки, в которых преобладают силы тяжести, геометрически подобны, если

Это второе условие гидродинамического подобия.

Нами получены три критерия гидродинамического подобия

1. Критерий Ньютона (общие критерии).

2. Критерий Фруда.

3. Критерий Дарси.

Отметим только: в частных случаях гидродинамическое подобие может быть установлено также по

где Δ– абсолютная шероховатость;

R– гидравлический радиус;

J– гидравлический уклон

При равномерном движении потеря напора на длине lhe определяется:

где χ – смоченный периметр,

w – площадь живого сечения,

lhe – длина пути потока,

ρ, g – плотность жидкости и ускорение силы тяжести,

τ0 – касательное напряжение вблизи внутренних стенок трубы.

Следует:

Откуда с учетом

Исходя из полученных результатов для τ0, распределения касательного напряжения τ в произвольно выбранной точке выделенного объема, например, в точке r0– r = t это расстояние равно:

тем самым вводим касательное напряжение t на поверхности цилиндра, действующее на точку в r0– r= t.

Из сравнений (4) и (3) следует:

поэтому

Подставив r= r0– t в (5), получим

Выводы:

1) при равномерном движении распределение касательного напряжения по радиусу трубы подчиняется линейному закону;

2) на стенке трубы касательное напряжение максимально (когда r0= r, т. е. t = 0), на оси трубы оно равно нулю (когда r0= t).

R– гидравлический радиус трубы, получим, что