Читать онлайн «Математика управления капиталом. Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров». Страница 36

N(Z) = N'(Z) * ((1,330274429 * Y^ 5) - (1,821255978 * Y^ 4) +

+ (1,781477937 * Y ^ 3) - (0,356563782 * Y^ 2 + (0,31938153 * Y))) Если Z < 0, тогда N(Z) = 1 - N(Z), где Y =1/(1+0,2316419 *ABS(Z));

ABS() = функция абсолютного значения;

V N'(Z) = 0,398942 * EXP (- (Z^2/2));

ЕХР() = экспоненциальная функция. Таким образом:

N'(-3) = 0,398942 * EXP (- ((-3)^2/2)) = 0,398942 * ЕХР(- (9/2)) = 0,398942 * EXP (-4,5) =0,398942*0,011109 =0,004431846678 Y = 1 / (1 + 0,2316419 * ABS(-3)) = I/(1+0,2316419*3) =1/(1+ 0,6949257) =1/1,6949257 = 0,5899963639

N(-3) = 0,004431846678 * ((1,330274429 * 0,5899963639 ^ 5) -

- (-1,821255978 * 0,5899963639^ 4) + + (1,781477937 * 0,5899963639^3) -

- (0,356563782 * 0,589996363^ 2) + + (0,31938153 * 0,5899963639)) = 0,004431846678 * ((1,330274429 * 0,07149022693) -

- (1,821255978 * 0,1211706) + (1,781477937 * 0,2053752) -

- (0,356563782 * 0,3480957094) + (0,31938153 * 0,5899963639)) = 0,004431846678 * (0,09510162081- 0,2206826796+ 0,3658713876 -

-0,1241183226 + 0,1884339414) =0,004431846678*0,3046059476 =0,001349966857

Отметьте, если Z имеет отрицательное значение (Z = -3), нам не надо менять N(Z) на N(Z) = 1 - N(Z). Теперь для каждого значения в столбце стандартных значений будут соот­ветствующие значения в столбце ассоциированных P&L и в столбце ассоции­рованной вероятности. Это показано в следующей таблице. После того как вы заполните эти три столбца, можно начать поиск оптимального f и его побоч­ных продуктов.

Стандартное значение Ассоциированные P&L Ассоциированная вероятность Ассоциированное значение HPR при f= 0,01 -3,0 ($4899,57) 0,001350 0,9999864325 -2,9 ($4725,24) 0,001866 0,9999819179 -2,8 ($4550,92) 0,002555 0,9999761557 -2,7 ($4376,60) 0,003467 0,9999688918 -2,6 ($4202,27) 0,004661 0,9999598499 -2,5 ($4027,95) 0,006210 0,9999487404 -2,4 ($3853,63) 0,008198 0,9999352717 -2,3 ($3679,30) 0,010724 0,9999191675 -2,2 ($3504,98) 0,013903 0,9999001875
Продолжение Стандартное значение Ассоциированные P&L Ассоциированная вероятность Ассоциированное значение HPR при f= 0,01 -2,1 ($3330,66) 0,017864 0,9998781535 -2,0 ($3156,33) 0,022750 0,9998529794 -1,9 ($2982,01) 0,028716 0,9998247051 -1,8 ($2807,69) 0,035930 0,9997935316 -1,7 ($2633,37) 0,044565 0,9997598578 -1,6 ($2459,04) 0,054799 0,9997243139 -1,5 ($2284,72) 0,066807 0,9996877915 -1,4 ($2110,40) 0,080757 0,9996514657 -1,3 ($1936,07) 0,096800 0,9996168071 -1,2 ($1761,75) 0,115070 0,9995855817 -1,1 ($1587,43) 0,135666 0,999559835 -1,0 ($1413,10) 0,158655 0,9995418607 -0,9 ($1238,78) 0,184060 0,9995341524 -0,8 ($1064,46) 0,211855 0,9995393392 -0,7 ($890,13) 0,241963 0,999560108 -0,6 ($715,81) 0,274253 0,9995991135 -0,5 ($541,49) 0,308537 0,9996588827 -0,4 ($367,16) 0,344578 0,9997417168 -0,3 ($192,84) 0,382088 0,9998495968 -0,2 ($18,52) 0,420740 0,9999840984 -0,1 $155,81 0,460172 1,0001463216 0,0 $330,13 0,500000 1,0003368389 0,1 $504,45 0,460172 1,0004736542 0,2 $678,78 0,420740 1,00058265 0,3 $853,10 0,382088 1,0006649234 0,4 $1027,42 0,344578 1,0007220715 0,5 $1201,75 0,308537 1,0007561259
Продолжение Стандартное значение Ассоциированные P&L Ассоциированная вероятность Ассоциированное значение HPR при f= 0,01 0,6 $1376,07 0,274253 1,0007694689 0,7 $1,550,39 0,241963 1,0007647383 0,8 $1724,71 0,211855 1,0007447264 0,9 $1899,04 0,184060 1,0007122776 1,0 $2073,36 0,158655 1,0006701921 1,1 $2247,68 0,135666 1,0006211392 1,2 $2422,01 0,115070 1,0005675842 1,3 $2596,33 0,096800 1,0005117319 1,4 $2770,65 0,080757 1,0004554875 1,5 $2944,98 0,066807 1,0004004351 1,6 $3119,30 0,054799 1,0003478328 1,7 $3293,62 0,044565 1,0002986228 1,8 $3,467,95 0,035930 1,0002534528 1,9 $3642,27 0,028716 1,0002127072 2,0 $3816,59 0,022750 1,0001765438 2,1 $3990,92 0,017864 1,000144934 2,2 $4165,24 0,013903 1,0001177033 2,3 $4339,56 0,010724 1,0000945697 2,4 $4513,89 0,008198 1,0000751794 2,5 $4688,21 0,006210 1,0000591373 2,6 $4862,53 0,004661 1,0000460328 2,7 $5036,86 0,003467 1,0000354603 2,8 $5211,18 0,002555 1,0000270338 2,9 $5385,50 0,001866 1,0000203976 3,0 $5559,83 0,001350 1,0000152327

Побочные продукты при f= 0,01:

TWR= 1,0053555695

Сумма вероятностей = 7,9791232176

Среднее геометрическое = 1,0006696309

GAT = $328,09 доллара.

Оптимальное f надо искать следующим образом. Сначала вы должны опреде­литься с методом поиска f. Можно просто перебрать числа от 0 до 1 с определен­ным шагом (например 0,01), используя итерационный метод, или применить метод параболической интерполяции, описанный в книге «Формулы управле­ния портфелем». Вам следует определить, какое значение f (между 0 и 1) позволит получить наибольшее среднее геометрическое. После того как вы определитесь с методом поиска, следует найти ассоциированное P&L наихудшего случая. В нашем при­мере это значение P&L, соответствующее -3 стандартным единицам, то есть -4899,57.

Для того чтобы найти средние геометрические для значений f, которые вы бу­дете перебирать в поиске оптимального, нужно преобразовать каждое значение ассоциированных P&L и вероятность в HPR. Уравнение (3.30) позволяет рассчи­тать HPR:

где L = ассоциированное значение P&L;

W = ассоциированное значение P&L наихудшего случая (это всегда отрицательное значение);

f= тестируемое значение f;

Р = ассоциированная вероятность.

Для f=0,01 найдем ассоциированное HPR при стандартном значении-3. Ассо­циированное P&L наихудшего случая составляет -4899,57. Поэтому HPR равно:

HPR = (1 + (-4899,57 / (-4899,57 / (-0,01))))^ 0,001349966857 = (1 + (-4899,57/489957))^ 0,001349966857 = (1 + (-0,01))^ 0,00139966857 = 0,99^ 0,001349966857 = 0,9999864325

После того как мы найдем ассоциированные HPR для тестируемого f (0,01 в на­шем примере), можно рассчитать TWR. TWR — это произведение всех HPR для данного значения f:

где N = общее число равноотстоящих точек данных;

HPR = HPR из уравнения (3.30), соответствующее точке данных i. Поэтому для нашего тестируемого значения f= 0,01 TWR равно:

TWR = 0,9999864325 * 0,9999819179 * ... * 1,0000152327 = 1,0053555695

Мы можем легко преобразовать TWR в среднее геометрическое, возведя TWR в сте­пень, равную единице, поделенной на сумму всех ассоциированных вероятностей.

где N == число равноотстоящих точек данных;

R = ассоциированная вероятность точки данных i.

Если мы просуммируем значения столбца, который включает 61 ассоциирован­ную вероятность, получим 7,979105. Поэтому среднее геометрическое при f= 0,01 равно:

G = 1,0053555695 ^ (1/7,979105) = 1,00535555695 ^ 0,1253273393 = 1,00066963

Мы можем также рассчитать среднюю геометрическую сделку (GAT). Это сумма, которую вы бы заработали в среднем на контракт за сделку, если бы торговали при этом распределении результатов и при данном значении f.