Читать онлайн «Наша математическая вселенная. В поисках фундаментальной природы реальности». Страница 63

Рис. 10.5. Теории можно выстроить в “фамильное древо”, где каждая из них может быть выведена, по крайней мере в принципе, из более фундаментальных. Например, специальную теорию относительности можно получить из общей теории относительности в приближении, при котором ньютоновская гравитационная постоянная G равна нулю. Классическая механика выводится из специальной теории относительности в приближении бесконечности скорости света c. Гидродинамика со всеми ее понятиями, например плотностью и давлением, вытекает из классической физики столкновений частиц. Однако случаев, когда переходы по стрелкам хорошо понятны, меньшинство. Вывод биологии из химии или психологии из биологии на практике кажется недостижимым. Лишь отдельные, приближенные аспекты таких дисциплин математизированы, и, вероятно, все математические модели, имеющиеся сейчас в физике, также являются аппроксимациями отдельных аспектов реальности.

Высшая цель физики – найти то, что в шутку называют теорией всего (ТВ), из которой может быть выведено все остальное. Ей предстоит занять место большого вопросительного знака наверху древа теорий. Здесь чего-то недостает (гл. 7): у нас нет целостной теории, объединяющей гравитацию и квантовую механику. ТВ стала бы полным описанием внешней физической реальности, существование которой предполагается в гипотезе внешней реальности. Выше я показал, что полное описание должно быть свободно от любого «багажа», то есть не должно содержать никаких понятий. Иными словами, оно должно быть чисто математической теорией без объяснений или «постулатов», как в учебниках по квантовой механике (математики прекрасно справляются – и часто этим гордятся – с изучением абстрактных математических структур, которые не имеют никакого внутреннего смысла или связи с физическими понятиями). Так что бесконечно разумный математик должен быть способен вывести все древо теорий на рис. 10.5 лишь из этих уравнений, извлекая из них свойства физической реальности, которую они описывают, свойства ее обитателей, их восприятие мира и даже слова, которые они придумывают. Эта чисто математическая «теория всего» потенциально может оказаться достаточно простой для описания с помощью уравнений, которые уместятся на футболке.

Все это неуклонно ведет нас к вопросу: действительно ли можно найти такое описание внешней реальности, в котором не было бы никакого «багажа»? Если да, то описание объектов нашей внешней реальности и взаимосвязей между ними было бы совершенно абстрактным, а любые слова или символы стали бы не более чем метками без какого-либо априорно подразумеваемого смысла. Свойства же всех таких сущностей исчерпывались бы их связями между собой.

Математические структуры

Для ответа на этот вопрос необходимо присмотреться к математике. Для современного логика математическая структура – это в точности следующее: набор абстрактных сущностей с отношениями между ними. Возьмем, например, целые числа или геометрические объекты, вроде любимого пифагорейцами додекаэдра. Это совершенно не похоже на первоначальное восприятие математики большинством из нас – как садистской формы наказания или набора трюков для манипулирования числами. Математика, развиваясь, стала, подобно физике, задаваться более широкими вопросами.

Современная математика – это формальное исследование структур, которые можно определить чисто абстрактным способом, без человеческого «багажа». Считайте математические символы просто метками без внутреннего содержания. Неважно, пишете ли вы «два плюс два равно четыре», 2 + 2 = 4 или dos más dos es igual a cuatro. Обозначения, используемые для указания сущностей и их взаимосвязей, не имеют значения; целые числа обладают лишь теми свойствами, которые связывают их между собой. То есть мы не изобретаем математические структуры: мы открываем их, а изобретаем лишь обозначения для их описания. Если другая цивилизация заинтересуется трехмерными фигурами, состоящими лишь из одинаковых плоских граней, она может открыть пять форм, представленных на рис. 7.2, которые мы, земляне, называем платоновыми телами. Инопланетяне могут придумать для них собственные названия, но не смогут изобрести шестую фигуру – ее просто не существует.

Итак, два основных вывода:

1. Из гипотезы внешней реальности вытекает, что «теория всего» (полное описание нашей внешней физической реальности) не содержит «багажа».

2. Нечто, имеющее описание, совершенно свободное от «багажа», – это не что иное, как математическая структура.

Из этих тезисов, взятых вместе, вытекает гипотеза математической Вселенной, то есть утверждение о том, что внешняя физическая реальность, описываемая посредством «теории всего», является математической структурой[67]. Итак, если вы верите во внешнюю реальность, независимую от людей, то вы должны поверить и в то, что наша физическая реальность является математической структурой. Ничто больше не имеет свободного от «багажа» описания. Иными словами, мы живем в гигантском математическом объекте – гораздо более сложном, чем додекаэдр, и, вероятно, даже гораздо более сложном, чем объекты с пугающими названиями вроде многообразий Калаби – Яу, тензорных расслоений или гильбертовых пространств, которые появляются в передовых современных физических теориях. Все в нашем мире чисто математическое – включая нас самих.

«Подожди-ка!» – обычно восклицает мой друг Джастин Бендих, когда физическое утверждение наводит на важный вопрос, на который нет ответа. А гипотеза математической Вселенной поднимает сразу три таких вопроса:

1. Что в точности является математической структурой?

2. Как именно наш физический мир может быть математической структурой?

3. Дает ли это утверждение какие-либо проверяемые предсказания?

Мы займемся вторым из этих вопросов в гл. 11, а третьим – в гл. 12. Начнем мы с первого и вернемся к нему в гл. 12.

Итак, люди пополняют свои описания «багажом». Теперь взглянем с другой стороны: как математическая абстракция может избавлять от «багажа», «обнажая» вещи до самой их сути. Рассмотрим конкретную последовательность шахматных ходов, известную как Бессмертная партия. В ней белые впечатляюще жертвуют обеими ладьями, слоном и ферзем, чтобы поставить мат тремя оставшимися легкими фигурами (рис. 10.6). Здесь, на Земле, эта партия впервые была сыграна в 1851 году Адольфом Андерсеном и Лионелем Кизерицким. Ее ежегодно воспроизводят в итальянском городке Маростика живые игроки, одетые шахматными фигурами, и она регулярно повторяется множеством любителей шахмат по всему миру. Некоторые игроки (включая моего брата Пера, его сына Симона и моего сына Александра; рис. 10.6) пользуются деревянными фигурами, другие – фигурами из мрамора или пластмассы. Некоторые доски выкрашены в коричневый и бежевый цвета, другие в черный и белый, а некоторые являются виртуальными, нарисованными с помощью трехмерной или двумерной компьютерной графики (рис. 10.6). И все же в некотором смысле ни одна из этих деталей не важна: когда любители шахмат называют Бессмертную партию красивой, они имеют в виду не привлекательность игроков, доски или фигур, а более умозрительную сущность, которую можно назвать абстракцией партии или последовательностью ходов.

Рис. 10.6. Абстрактная партия в шахматы не зависит от цвета или формы фигур, от того, описываются ли ходы движениями фигур на физически существующей доске, на стилизованном компьютерном изображении или с применением алгебраической шахматной нотации – это все равно та же партия. Аналогично математическая структура не зависит от символов, которые используются для ее описания.

Рассмотрим подробнее, как мы описываем абстрактные сущности. Прежде всего описание должно быть конкретным, так что нужно изобрести объекты, слова, символы, соответствующие абстрактной идее. Так, в Соединенных Штатах шахматную фигуру, которая ходит по диагонали, мы называем bishop («епископ»). Во-вторых, очевидно, что это название произвольно и другие были бы ничуть его не хуже. В самом деле, эта фигура называется fou («дурак») по-французски, strelec («стрелок») по-словацки, löpare («бегун») по-шведски, fil («слон») по-персидски. Можно, однако, согласовать уникальность Бессмертной партии с множественностью ее возможных описаний, используя сильную идею эквивалентности:

1. Мы определим, что имеется в виду под эквивалентностью двух описаний.

2. Мы будем говорить, что если два описания эквивалентны, то они описывают одну и ту же вещь.