Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Β«Π₯аос. Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈΒ». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 34

Автор ДТСймс Π“Π»Π΅ΠΉΠΊ

Рис. 5.1. Новый способ изучСния маятника.

Одна лишь Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π² Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС (справа) ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π°Π΅Ρ‚ всю ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΎ состоянии динамичСской систСмы Π² ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ (слСва). Для простого маятника достаточно Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΅Π³ΠΎ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ мСстополоТСниС.


Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, которая позволяСт наглядно ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ динамичСской систСмы Π² Ρ‚Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ. ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ «пСтля» ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ систСму, которая всСгда воспроизводит ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ своС состояниС. Если ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ устойчиво, ΠΊΠ°ΠΊ Ρƒ часов с маятником, систСма ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ…Π°Ρ… возвращаСтся ΠΊ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΉ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π΅ двиТСния. Π’ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ Π²ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ Π² Π½Π΅Π΅, Π° сама ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π° являСтся Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.


Рис. 5.2. Аттрактор ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒ собой ΠΎΠ΄Π½Ρƒ-Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ. Π’ случаС с маятником, Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎ Ρ‚Π΅Ρ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅, всС Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ спирали, Π·Π°ΠΊΡ€ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΡŒ, ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ систСма устойчива, β€” Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС двиТСния Π½Π΅ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅.


Как ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ занимался хаосом, Π”Π°Π²ΠΈΠ΄ Π ΡƒΡΠ»Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·Ρ€Π΅Π²Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ Π² Ρ‚ΡƒΡ€Π±ΡƒΠ»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊΠ΅ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹: ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ струи, ΡΠΏΠΈΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ΄ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Ρ‹, Π²ΠΎΠ»ΡˆΠ΅Π±Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π²ΠΈΡ‚ΠΊΠΈ, ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ ΠΈ вновь ΠΈΡΡ‡Π΅Π·Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, β€” Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ объяснялось Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ, Π½ΠΎ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Π»ΠΎ ΠΊ сфСрС таинствСнного ΠΈ Π½Π΅ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ. Π’ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠΈ рассСиваниС энСргии Π² Ρ‚ΡƒΡ€Π±ΡƒΠ»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ вСсти ΠΊ своСобразному ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ пространства, ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΡΠ³ΠΈΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΊ Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ. БСсспорно, послСдний Π½Π΅ оставался Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ» Π² состояниС покоя, β€” энСргия поступала Π² систСму ΠΈ ΡƒΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π° ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅. Каким Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠΎΠ³ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€? Помимо описанного, согласно Π΄ΠΎΠ³ΠΌΠ°Ρ‚Ρƒ, сущСствовал лишь ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ β€” пСриодичСский Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΈΠ»ΠΈ замкнутая кривая, ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π°, ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΡΠ³ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ всС Π±Π»ΠΈΠ·Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Ρ‹. Если маятник ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ подвСса ΠΈ тСряСт Π΅Π΅ ΠΈΠ·-Π·Π° трСния, Ρ‚ΠΎ устойчивая ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ собой Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ‚Π»ΡŽ Π² Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС, ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, рСгулярныС ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ двиТСния маятника Π΄Π΅Π΄ΡƒΡˆΠΊΠΈΠ½Ρ‹Ρ… часов. НСваТно, Π³Π΄Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ маятник, Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ счСтС ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π΅. Но ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ? Π’ силу Π½Π΅ΠΊΠΈΡ… Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… условий (Π° ΠΎΠ½ΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌΠΎΠΌ энСргии) маятник остановится. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, получаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ систСма Π² Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… являСтся Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ‚Π»Π΅ΠΉ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ β€” фиксированной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ· Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Β«Π½ΠΈΡˆΡƒΒ» Π² Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС. Π’ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ это Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π΅ Ρ€Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ€Π°Π·Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ΄ΠΎΡ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ.

Π’ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡ‚ΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ каТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ пространства ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ динамичСской систСмы. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ долгосрочной пСрспСктивы СдинствСнными модСлями повСдСния становятся сами Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹. ВсС ΠΈΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ двиТСния прСходящи. По ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ, Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ присущС ваТнСйшСС качСство β€” ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмС, Π³Π΄Π΅ двиТущиСся элСмСнты ΡΡ‚Π°Π»ΠΊΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ Ρ€Π°ΡΠΊΠ°Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΠ·-Π·Π° ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ… ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ срСды, Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ возвращаСтся ΠΊ Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ. Π’ΠΎΠ»Ρ‡ΠΎΠΊ способСн Π½Π΅Π½Π°Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ случайныС двиТСния быстро ΠΈΡΡ‡Π΅Π·Π°ΡŽΡ‚, β€” Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли Π²Π΄Ρ€ΡƒΠ³ кошка Π·Π°Π΄Π΅Π½Π΅Ρ‚ часы с маятником, ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ‚Π° Π½Π΅ увСличится Π΄ΠΎ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… сСкунд. Однако Ρ‚ΡƒΡ€Π±ΡƒΠ»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² Тидкостях β€” явлСниС ΠΈΠ½ΠΎΠ³ΠΎ порядка, Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€ΠΈΡ‚ΠΌ. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎΠ΅ свойство Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ явлСния Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π°Π±Π»ΡŽΠ΄Π°Π΅Ρ‚ΡΡ вСсь спСктр Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠ»Π΅Π±Π°Π½ΠΈΠΉ. Π’ΡƒΡ€Π±ΡƒΠ»Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с Β«Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΌ ΡˆΡƒΠΌΠΎΠΌΒ» ΠΈΠ»ΠΈ статикой. Могла Π»ΠΈ простая дСтСрминистская систСма ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Π½?

Π ΡƒΡΠ»Π»ΡŒ ΠΈ ВакСнс задались вопросом, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° подходящим Π½Π°Π±ΠΎΡ€ΠΎΠΌ характСристик: ΡƒΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌ числом ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ, Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π£ΡΡ‚ΠΎΠΉΡ‡ΠΈΠ²ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° достиТСниС ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ состояния систСмы Π²ΠΎΠΏΡ€Π΅ΠΊΠΈ всСм ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ…Π°ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌ ΡˆΡƒΠΌΠΎΠ² ΠΌΠΈΡ€Π΅. МалоС число ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π»ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π° Π² Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ собой ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚ΠΈΠΏΠ° ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠΈ, ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ лишь нСсколькими стСпСнями свободы. ΠΠ΅ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π»Π° отсутствиС ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€Π΅Π½ΠΈΠΉ β€” Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ с ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌ Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π½ΡŒΠ΅ΠΌ старых часов. Π‘ гСомСтричСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния вопрос казался чистой Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠ»ΠΎΠΌΠΊΠΎΠΉ. Какой Π²ΠΈΠ΄ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π°, изобраТаСмая Π² ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ пространствС, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ повторяла ΠΈ Π½Π΅ пСрСсСкала саму сСбя? Π’Π΅Π΄ΡŒ систСма, Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ²ΡˆΠ°ΡΡΡ Π² своС ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅Π΅ состояниС, согласно принятой ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ своСму ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ воспроизвСсти ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€ΠΈΡ‚ΠΌ, ΠΎΡ€Π±ΠΈΡ‚Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠ²Π»ΡΡ‚ΡŒ собой бСсконСчно Π΄Π»ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ линию Π½Π° ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· матСматичСских Ρ€Π΅Π·ΠΎΠ½ΠΎΠ², Π ΡƒΡΠ»Π»ΡŒ ΠΈ ВакСнс провозгласили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ описанный Ρ„Π΅Π½ΠΎΠΌΠ΅Π½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Π₯отя ΠΎΠ½ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ, ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ заявлСния оказалось довольно. ВпослСдствии, выступая с Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒΡŽ Π½Π° ΠΏΠ»Π΅Π½Π°Ρ€Π½ΠΎΠΌ засСдании ΠœΠ΅ΠΆΠ΄ΡƒΠ½Π°Ρ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ конгрСсса ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² Π’Π°Ρ€ΡˆΠ°Π²Π΅, Π ΡƒΡΠ»Π»ΡŒ заявил: «НаучноС сообщСство вСсьма ΠΏΡ€ΠΎΡ…Π»Π°Π΄Π½ΠΎ ΠΎΡ‚Π½Π΅ΡΠ»ΠΎΡΡŒ ΠΊ Π½Π°ΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ. Π£ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΉ спСктр Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ с Π½Π΅Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом β€žΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½Π΅ΠΉ ΡΠ²ΠΎΠ±ΠΎΠ΄Ρ‹β€œ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ посчитали просто Π΅Ρ€Π΅ΡΡŒΡŽΒ». Но Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ β€” горсточка, Π½Π΅ большС. ΠŸΠΎΡ‡ΡƒΠ²ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π² всю Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠ΅ΠΉ Π² 1971 Π³. Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, ΠΎΠ½ΠΈ стали ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ.


На самом ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΊ 1971 Π³. Π² Π½Π°ΡƒΡ‡Π½ΠΎΠΉ Π»ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅ ΡƒΠΆΠ΅ имСлся ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ нСбольшой набросок Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡ΡƒΠ΄ΠΎΠ²ΠΈΡ‰Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΎΠΆΠΈΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π ΡƒΡΠ»Π»ΡŒ ΠΈ ВакСнс.


Рис. 5.3. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ странный Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π’ 1963 Π³. Π­Π΄Π²Π°Ρ€Π΄ Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ† смог Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ нСсколько элСмСнтов Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° для своСй простой систСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ. Однако ΠΎΠ½ понял, Ρ‡Ρ‚ΠΎ «прослойка» Π΄Π²ΡƒΡ… ΡΠΏΠΈΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΡƒΡŽ структуру, Π½Π΅Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΌΡƒΡŽ Π² ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ… ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π°Ρ….


Π­Π΄Π²Π°Ρ€Π΄ Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ† сдСлал Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ своСй ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ ΠΎ дСтСрминистском хаосС, Π²Ρ‹ΡˆΠ΅Π΄ΡˆΠ΅ΠΉ Π² 1963 Π³. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π· прСдставлял собой ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠ½ΡΡ‚Ρ€ΡƒΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ…, ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, справа ΠΈ пяти ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Ρ… слСва. Π›ΠΈΡˆΡŒ для схСматичного изобраТСния этих сСми Β«ΠΏΠ΅Ρ‚Π΅Π»ΡŒΒ» ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒΡΠΎΡ‚ матСматичСских ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, с успСхом Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€ΠΎΠΌ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, двигаясь вдоль ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π² Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС, дСмонстрировала ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ…Π°ΠΎΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΊΠΎΠ² Тидкости, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ трСмя уравнСниями Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ†Π° для явлСния ΠΊΠΎΠ½Π²Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ систСма Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ трСмя нСзависимыми ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π»Π΅ΠΆΠ°Π» Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ Ρ„Π°Π·ΠΎΠ²ΠΎΠΌ пространствС. И хотя ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Π» лишь Π΅Π³ΠΎ Ρ„Ρ€Π°Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ† смог ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ большС: Π½Π΅Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ спирали, ΠΊΡ€Ρ‹Π»ΡŒΠ΅Π² Π±Π°Π±ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, сотканных с ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ мастСрством. Когда ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ количСства Ρ‚Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Ρ‹ Π² систСмС Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ†Π° Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Тидкости Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΌ Β«ΠΊΡ€Ρ‹Π»Π΅Β», ΠΏΡ€ΠΈ остановкС тСчСния ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°Π»Π°ΡΡŒ Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ сторону.

Аттрактор Π±Ρ‹Π» устойчивым, нСпСриодичСским, ΠΈΠΌΠ΅Π» ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ число ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ пСрСсСкал сам сСбя. Если Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ ΡΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ ΠΈ ΠΎΠ½ возвратился Π±Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠ²Π°Π», Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² дальнСйшСм ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΠ»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹, образуя ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ‚Π»ΡŽ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ происходило. Π’ этом-Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ странная ΠΏΡ€Π΅Π»Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π°Ρ‚Ρ‚Ρ€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: являвшиСся Π²Π·ΠΎΡ€Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ‚Π»ΠΈ ΠΈ спирали казались бСсконСчно Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° Π½Π΅ соСдинявшимися ΠΈ Π½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Π²ΡˆΠΈΠΌΠΈΡΡ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ пространства, имСвшСго свой ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°ΠΌΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠ±ΠΊΠΈ. ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ стало Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ? Как ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ бСсконСчноС мноТСство Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΉ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ пространствС?

Π”ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ изобраТСния Ρ„Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π°Π»ΠΎΠ² ΠœΠ°Π½Π΄Π΅Π»ΡŒΠ±Ρ€ΠΎ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΈΡ€, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС особСнности построСний ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌ казалось вСсьма Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ. Π‘Π°ΠΌ Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ† ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π²Π°Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΅Π³ΠΎ собствСнном ΡΠΊΡΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ описании присутствовало «явноС ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΡ€Π΅Ρ‡ΠΈΠ΅Β». Β«ΠžΡ‡Π΅Π½ΡŒ нСпросто ΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ повСрхности, Ссли каТдая содСрТит ΡΠΏΠΈΡ€Π°Π»ΡŒ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π½Π΅ ΡΡ‚Ρ‹ΠΊΡƒΡŽΡ‚ΡΡΒ», β€” сСтовал ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ΠΉ. Однако Π² массС ΠΊΠΎΠΌΠΏΡŒΡŽΡ‚Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… вычислСний ΠΎΠ½ всС ΠΆΠ΅ разглядСл слабо ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π²ΡˆΠ΅Π΅ΡΡ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ† понял, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° спирали явно Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π»ΠΈ ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒΡΡ, повСрхности Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, образуя ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ слои, словно Π² стопкС писчСй Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ. Β«ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ каТдая ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ состоит Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… повСрхностСй, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ΠΈ сходятся, появляСтся ΡƒΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ, Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ восСмь повСрхностСй ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ†ΠΎ бСсконСчноС мноТСство повСрхностСй, каТдая ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… находится Ρ‡Ρ€Π΅Π·Π²Ρ‹Ρ‡Π°ΠΉΠ½ΠΎ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ повСрхностСй». НС ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² 1963 Π³. ΠΌΠ΅Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈ оставили ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ рассуТдСния Π±Π΅Π· внимания. ДСсятилСтиС спустя Π ΡƒΡΠ»Π»ΡŒ, ΡƒΠ·Π½Π°Π² ΠΎ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π΅ Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ†Π°, Π±Ρ‹Π» Π±ΡƒΠΊΠ²Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ошСломлСн. ВпослСдствии ΠΎΠ½ посСтил Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ†Π°, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ вынСс ΠΈΠ· этой встрСчи чувство Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΠ³ΠΎ разочарования. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π°ΡƒΡ‡Π½Ρ‹Π΅ интСрСсы исслСдоватСли обсуТдали совсСм Π½Π΅Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎ; с Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΉ для Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ€ΠΎΠ±ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π›ΠΎΡ€Π΅Π½Ρ† ΠΈΠ·Π±Π΅Π³Π°Π» ΠΏΠΎΠ»Π΅ΠΌΠΈΠΊΠΈ ΠΈ постарался ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Ρƒ свСтский Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€: ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹Π΅ с ΠΆΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ посСтили худоТСствСнный ΠΌΡƒΠ·Π΅ΠΉ.