Читать онлайн «Мёртвая вода. Часть 2». Страница 52

(E - A)XK = FK ³FK min ,

где FK min — минимально допустимый спектр производства продукции конечного потребления. Здесь и далее для обозначения натурального учета продукции употребляется мнемонический индекс «К» (от слова «каталог»), а для обозначения стоимостного учета индекс «Р», напоминающий о прейскуранте, обозначаемом латинской буквой «Р».

Приведенное матричное неравенство описывает множество межотраслевых балансов, поскольку XK = XK min + DXK , FK = FK min + DFK ³ FK min  — вариантные спектры возможного превышения минимально допустимых спектров XK min , FK min — однозначно не определены. Из этого множества допустимых вариантов баланса необходимо избрать только один межотраслевой баланс, т.е. пару значений XK  и FK  наилучших, оптимальных в некотором, однако определенном в конкретных жизненных обстоятельствах,смысле. Этот — избранный, в некотором определенном смысле оптимальный баланс, описывается уравнением:

(E - A)XKП = FK П ,

общий смысл которого ясен из предыдущего; мнемонический индекс «П» обозначает выбор параметров межотраслевого баланса в качестве плановых контрольных параметров макроэкономической системы.

При этом предполагается, что осуществляется ненапряженное планирование, при котором плановые показатели, заведомо ниже предельно возможных (наивысших, достижимых при полной загрузке всех мощностей), что представляет собой условие обеспеченности ресурсами и мощностями варианта плана, избранного для выполнения. Такого рода плановая недогруженность производственных мощностей идет в запас устойчивости плана[138] при его осуществлении. Иными словами, избранный план не “планка рекордной высоты”, через которую экономика в “социалистическом соревновании” должна “перепрыгнуть” на пределе своих возможностей; избранный план — это упорядоченный набор, заведомо достижимых контрольных показателей производственно-потребительской системы, ниже которых недопустимо уронить производство ни в одной из отраслей.

Математически принцип ненапряженного может быть выражен следующим образом:

FK предельно возможное > FKП ³ FK min

Один из вариантов выбора смысла оптимальности состоит в том, что вариантный спектр производства FK ³ FK min должен достигаться при минимальных валовых производственных мощностях во всем множестве рассматриваемых отраслей XK = (XK 1 , XK 2 , ... , XK n)T. Но отраслей много, вся их продукция не‑взаимозаменяема и, чтобы найти минимум их потребных мощностей, необходимо избрать процедуру формального соизмерения объективно несоизмеримых разнокачественностей.

Одна из таких процедур, применяемых для построения критериев оптимальности — скалярное произведение двух векторов в ортогональном базисе:

z = rT XK = (r1 , r2 , ... , rn)(XK 1 , XK 2 , ... , XK n)T =

= r1XK 1 + r2XK 2 + ... + rnXK n  ,

в котором компоненты вектора r выступают как “весовые множители” при компонентах вектора XK валовых мощностей отраслей, приводя их к некой единой размерности, или лишая их размерности вообще, что позволяет в математической модели корректно складывать реальные хлеб, чугун, компьютеры, самолеты и телевизоры, производимые разными отраслями.

Ортогональность базиса — перпендикулярность друг другу любой пары координатных осей. Ортогональность базиса в задачах экономических приложений можно условно интерпретировать как полную взаимо-НЕ-заменяемость продукции в номенклатуре спектров производства XK , FK. При сделанных предположениях система ограничений, налагаемых на межотраслевой баланс, математически описывается так:

(E -A) XK = FK  => FK min

XK  => 0                            ЛП-П

Найти Min( Z ),  Z = r1XK 1 + r2XK 2 + ... + rnXK n

В терминах математики это — задача линейного программирования[139] (далее аббревиатура ЛП). Это задача продуктообмена (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «П»). Условие XK ³0 , хотя оно присутствует и в канонической формально-математической постановке задачи линейного программирования, имеет и экономический смысл — неотрицательности валовых производственных мощностей. В задачу могут быть введены и иные таким же способом формализованные ограничения, например: биосферно-экологические ограничения в их формализованном виде XK < XK max , FK  <  FK max , ограничения на численность персонала и т.п. Но они не изменяют характера используемых математических методов, если все ограничения выражены в линейных функциях, т.е. функциях типа f =Sai xi , где аi — коэффициенты, а xi — переменные,i = 1, ... , N . В такого рода системы неравенств могут входить и уравнения, так как каждое из уравнений f(x)= c эквивалентно введению в систему двух нестрогих неравенств f(x)£ c , f(x)³ c , которые оба должны удовлетворяться в решении системы.

Математический аппарат линейного программирования существует с начала 1940‑х гг. и используется в качестве средства для формализованного выбора оптимального решения в задачах управления объектами, описываемыми большим числом параметров; а также для формализованного выбора оптимального сочетания множества характеристик объектов при их проектировании и научно-техническом сопровождении осуществления проектов.

Именно по этой причине, т.е. для поддержания необходимой глобальному надиудейскому предиктору функциональной недееспособности при решении многопараметрических задач управления (и разработки технологий и продукции) линейное программирование и некоторые другие разделы математики, допускающие их такого рода приложение, не только исключены из типичного вузовского курса в СССР[140], но даже вообще не упоминаются в них. Поэтому в нашей стране с линейным программированием и аналогичного назначения другими разделами математики знакомы содержательно-методоло­ги­чески только математики-абстракционисты, прошедшие через университетский курс высшей математики. А весьма малое число специалистов иных отраслей знания и техники просто бездумно натасканы на сложившиеся и ставшие традиционными прикладные интерпретации математического аппарата. В связи с этим пробелом в образовании большинства даже не-гуманитариев, прежде чем говорить о прикладных интерпретациях аппарата линейного программирования, поговорим о его существе.

В трехмерном пространстве линейное уравнение с тремя неизвестными:  a1x1 + a2x2 + a3x3 + b = 0 — задает плоскость. Два уравнения задают две плоскости и, если плоскости пересекаются, то и прямую линию — линию их пересечения. Каждая плоскость рассекает полное бесконечное во все стороны пространство на два “полупрос­тран­ства”, подобно тому, как удар ножом рассекает картофелину пополам. Замена знака равенства ( = ) в уравнении плоскости на знак неравенства (< , > , £ , ³ ) есть выбор одного из полупространств, определяемых плоскостью, и изъятие из рассмотрения второго. При этом строгое неравенство ( < , > ) исключает из избранного полупространства секущую полное пространство плоскость, а нестрогое ( £ , ³ ) включает секущую плоскость в избранное полупространство (т.е. “нож” остается прилепленным к одной из половинок “картофелины”).

Много неравенств — это вырезание бесконечно простирающимися плоскостями из полного пространства некоторой области. Геометрически такая область — многогранник.

В n‑мерном пространстве всё точно также. Линейное уравнение n переменных определяет подпространство размерностью n ‑ 1 , называемое гиперплоскостью. Много неравенств в n‑мерном пространстве вырезают из него гиперплоскостями n‑мерную область. Эта область является n-мерным многогранником; причем выпуклым многогранником. Свойство выпуклости означает, что всякие две точки на поверхности, ограничивающей многогранник, могут быть соединены отрезком прямой линии, и все точки этого отрезка будут принадлежать либо внутренности этого многогранника, либо ограничивающей его поверхности.