Π§ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ Π½Π° Bookidrom.ru! БСсплатныС ΠΊΠ½ΠΈΠ³ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ»ΠΈΠΊΠ΅

Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ «ПавСл ЀлорСнский Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ ΠΈ философия искусства». Π‘Ρ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° 23

Автор ПавСл ЀлорСнский

Ξ±=2ς–π= О, Π³Π΄Π΅ 2Ο‚=ΔΑ+ΔΒ + Δϋ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π½Π΅ΡΠ΅ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ наш Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, прСдполагая стороны Π΅Π³ΠΎ Π³ΠΈΠ±ΠΊΠΈΠΌΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ растяТимыми, Π½Π° Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ натянСм Π΅Π³ΠΎ стороны, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ отставали ΠΎΡ‚ повСрхности. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° каТдая ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ расстояния ΠΏΠΎ повСрхности, ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ говорят, ΠΏΠΎ гСодСзичСской Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ повСрхности. Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ линию, согласно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ прямой ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π³ΠΎ расстояния, ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ этой повСрхности Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π° ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΡΠΌΠ΅ΠΉΡˆΡƒΡŽ, β€”ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π½Π° этой повСрхности ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, вСсь Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ β€” Π·Π° прямолинСйный. Но, понятноС Π΄Π΅Π»ΠΎ, Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ измСнилась ΠΈ измСнились Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Ρ‹; Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ½ΠΈ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ А, Π’ ΠΈ Π‘, Π° Π›1, Π’\ Π‘1 ΠΈ сумма ΠΈΡ… 2qx ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ Ο€, Π° нСкоторая другая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ξ± = 2<71_ Ο€, Π³Π΄Π΅ 2q β€” Z_Al+/LB{+/LC\ ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ‡Ρ…, Ρ‚. Π΅. Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° отступлСния суммы ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ повСрхности Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π° Свклидовской плоскости, носит Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ сфСричСского ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΠ°. ЯсноС Π΄Π΅Π»ΠΎ, этот ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΈΡΠΊΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ повСрхности ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, сам эту ΠΈΡΠΊΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚. Но Π΄Π°Π»Π΅Π΅, дСформация Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ. Если ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π»ΠΎΠΆΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π½Π° плоскости вСсьма ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ сосчитали число ΠΈΡ…, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π΅Π»Π°Π»ΠΈ с Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠΌ Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ повСрхности, Ρ‚ΠΎ число ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠ², Ρ‚Π°ΠΌ ΠΈ Ρ‚ΡƒΡ‚ Π²Ρ‹ΡΡ‚ΠΈΠ»Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, окаТСтся Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ эта Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒβ€‘Ρ‚Π°ΠΊΠΈ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΡΠΊΡ€ΠΈΠ²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ повСрхности. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΌΡ‹ΡΠ»ΡŒ ΡΠ²ΡΠ·Π°Ρ‚ΡŒ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, сфСричСский ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρƒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Гаусса, согласно ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ

Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» распространяСтся Π½Π° всю ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AlBlCl Π½Π° ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ повСрхности, a da2 Π΅ΡΡ‚ΡŒ элСмСнт ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ этого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Бмысл Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ β€”Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сфСричСский ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ накапливаСтся Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ слоТности всСми элСмСнтами повСрхности, Π½ΠΎ Π² Ρ‚Π΅ΠΌ большСй стСпСни, Ρ‡Π΅ΠΌ большС ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° Π² этом элСмСнтС. Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ говоря, ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ сСбС ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρƒ повСрхности ΠΏΠΎ какой‑то Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΠΈ с повСрхностной ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ, ΠΈ суммарноС Π½Π°ΠΊΠΎΠΏΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого качСства повСрхности сказываСтся сфСричСским ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ЀизичСски Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Гаусса ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, воспользовавшись сыпучим ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΈΠΌ Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ. Если Π±Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ количСство Тидкости, мыслимой ΠΊΠ°ΠΊ нСсТимаСмая, Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π°Π»ΠΈΡ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠΌ, Ρ€ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌ слоСм Π½Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ плоского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π»ΠΈΡ‚ΠΎ слоСм Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ, Ρ‚ΠΎ Тидкости ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ Ρ…Π²Π°Ρ‚ΠΈΠ»ΠΎ Π±Ρ‹, ΠΈΠ»ΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ слишком ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ. Π’ΠΎΡ‚ этот‑то ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ, с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ, Тидкости, отнСсСнный ΠΊ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Π΅ слоя, ΠΈ равнялся Π±Ρ‹ сфСричСскому ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

ВозвращаСмся ΠΊ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ Гаусса. Богласно ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠ°ΠΌ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° бСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Ρ…, ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрСписана Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅:


Π³Π΄Π΅ К2 Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ нашСй повСрхности Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ:

Π­Ρ‚ΠΎ срСднСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ характСризуСтся ΠΊΠ°ΠΊ сфСричСский ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, отнСсСнный ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ Π΅Π³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ. Π˜Π½Π°Ρ‡Π΅ говоря, это Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ Тидкости ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, отнСсСнный ΠΊ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠΌΡƒ Π΅Π΅ количСству, ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ говоря, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ повСрхностной Смкости нашСго Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ сСбС Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ наш дСлаСтся всС мСньшС ΠΈ мСньшС. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π΅Π³ΠΎ станСт Π±Π΅ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½ΠΎ вмСстС с Ρ‚Π΅ΠΌ станСт Π±Π΅ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ сфСричСский ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ (Ссли Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ рассматриваСмая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ). ΠžΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΆΠ΅ этих ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Ρ€Π΅ΠΌΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρƒ, Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ повСрхностной Смкости Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ истинная Гауссова ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° повСрхности Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ обсуТдаСм ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Свклидовского пространства, Ρ‚ΠΎ пСрСнос Π½Π° Π½Π΅Π΅ плоского Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΌΡ‹ истолковываСм ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΊ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ· прСдставлСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ стороны Π΅Π³ΠΎ сдСлались ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ. Но это Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° происходящСго ΠΈΠ·Π²Π½Π΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° признаСтся этот внСшний ΠΌΠΈΡ€ бСзусловно Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ; это Π΅ΡΡ‚ΡŒ высокомСрноС объяснСниС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΎΠΊΠΎ Ρ‡ΡƒΠΆΠ΄ΠΎ ΠΈ вСроятно Π²Ρ€Π°ΠΆΠ΄Π΅Π±Π½ΠΎ для обитатСля обсуТдаСмого Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Гауссова ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π°, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° l/R^R29 для Π½Π΅Π³ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎβ€“Π°Π½Π°Π»ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ способ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΈΠ±ΠΎ этот ΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ сознаСт Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π²Π½Π΅ повСрхности, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, ΠΈ ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ искривлСния, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ, Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ способСн. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° ΠΆΠ΅ происходящСго внутрСнняя, Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… доступного Π΅Π³ΠΎ прямому наблюдСнию, ΠΈ соотвСтствСнноС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌ построСно ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ способом: ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° повСрхности Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ повСрхностной Смкости Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, рассчитанноС Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ. ЀизичСски ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ установлСно ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΠΌΠΈ с Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠΌ слоСм нСсТимаСмой Тидкости.

XV

Π’Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ пространство Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ характСризуСтся Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΡŽ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ дСлаСтся быстрый ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄, ΠΎΡ‚Π½ΡŽΠ΄ΡŒ гСомСтричСски Π½Π΅ обоснованный, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ пространство ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ искривлСнным, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ β€”ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго обсуТдСния нССвклидовских пространств ΠΈ ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ областями Π΄Π²ΡƒΡ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. Когда ΠΆΠ΅ подвСргаСтся ΠΎΠ±ΡΡƒΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈ пространство Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° Π΅Π³ΠΎ вводится лишь Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎβ€“Π°Π½Π°Π»ΠΈΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ гСомСтричСской наглядности, Π½ΠΈ физичСской уловимости. ΠžΡΡ‚Π°Π΅Ρ‚ΡΡ нСясным, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ, хотя Π±Ρ‹ Π² мыслимом ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ случай Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅ Π²Ρ‹ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠΌ пространства. ΠžΡ‚Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎ гСомСтричСски ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° пространства Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ искривлСниСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠ΅ΠΉΡˆΠΈΡ…, Ρ‚. Π΅. ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠΈΡ…, ΠΈΠ»ΠΈ гСодСзичСских, Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ. Но, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·ΡŠΡΡΠ½Π΅Π½ΠΎ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊ, ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°ΡΡΡŒ со всСми своими инструмСнтами, ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ со всСми своими наглядными прСдставлСниями Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… этого самого Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΡ€Π° ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Π²Π΅Ρ€Π³Π°ΡΡΡŒ, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ исслСдуСмая гСодСзичСская [линия], по–видимому, Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ способа нСпосрСдствСнно ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² искривлСнности ΠΏΡ€ΡΠΌΠ΅ΠΉΡˆΠ΅ΠΉ. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ Ρ…Π²Π°Ρ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ обсуТдСнии нССвклидовских пространств, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ построСно, Ссли ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ. Π­Ρ‚ΠΎ понятиС Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Смкости пространства.

ВсС Π΄Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ гСомСтричСскоС Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π΅ пространства, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΡƒΡŽ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. ИзмСнСниС этой Смкости, отнСсСнноС ΠΊ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ объСма, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ ΠΊ пониманию ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ:

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ[68] сСбС тСтраэдр, Π½Π°ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ нСсТимаСмою ΠΆΠΈΠ΄ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° этого тСтраэдра Π³ΠΈΠ±ΠΊΠΈ, Π½ΠΎ Π½Π΅ растяТимы, ΠΈ всСгда Π½Π°Ρ‚ΡΠ³ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚. Π΅. ΡΡƒΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠ΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅; Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ ΠΆΠ΅ этого тСтраэдра Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ сСбС способными Ρ€Π°ΡΡ‚ΡΠ³ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΡΠΆΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° тСлСсных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² этого тСтраэдра Ρ€Π°Π²Π½Π° 4Ο€, Ρ‚. Π΅. Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ΠΌ прямым тСлСсным ΡƒΠ³Π»Π°ΠΌ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΠΌ сСбС Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наш тСтраэдр пСрСнСсСн Π² нССвклидовскоС пространство. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ½ дСформируСтся: Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΉΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎ гСодСзичСским, Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ станут плоскостями этого Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ пространства. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, тСлСсныС ΡƒΠ³Π»Ρ‹ измСнятся, ΠΈ сумма ΠΈΡ… ΡƒΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 2Ο€, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ измСнится ΠΈ объСм тСтраэдра. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, содСрТащСйся Π² Π½Π΅ΠΌ Тидкости станСт Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ слишком ΠΌΠ°Π»ΠΎ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ слишком ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ; этот ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ, понимая Π΅Π³ΠΎ Π² алгСбраичСском смыслС, зависит ΠΎΡ‚ стСпСни Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ тСтраэдра, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ β€” ΠΎΡ‚ ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΠ° суммы тСлСсных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π΄Π΅Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ тСтраэдра Π½Π°Π΄ 4Ο€. Но, с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, дСформация тСтраэдра ΠΈ всС Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° послСдствия зависят ΠΎΡ‚ стСпСни искривлСнности Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Смкости тСтраэдра Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρƒ пространства.

МоТно Π²Ρ‹ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ Гаусса:

Π’ΡƒΡ‚ dbΠ· Π΅ΡΡ‚ΡŒ элСмСнт объСма, /Π“3 β€” ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ пространства, 2Ρ€3 β€” сумма тСлСсных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² тСтраэдра, ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» ΠΆΠ΅ распространяСтся Π½Π° вСсь объСм тСтраэдра. Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚: ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΎΠΊ суммы тСлСсных ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ 4Ο€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ гипСрсфСричСским ΠΈΠ·Π±Ρ‹Ρ‚ΠΊΠΎΠΌ, накапливаСтся Π² тСтраэдрС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΌ элСмСнтом Π΅Π³ΠΎ объСма, Π½ΠΎ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ стСпСни; ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π½ΡΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этого накоплСния Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ мСстС характСризуСтся ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΉ ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Ρ‹.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΈΠ·Π½Π° пространства Ρ‚ΡƒΡ‚ понимаСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ΄Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΅ΠΌΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ пространства Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. НаписанноС ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ по–прСТнСму: