Читать онлайн «6a. Электродинамика»

§ 1. Импедансы

§ 2. Генераторы

§ 3. Сети идеальных элементов; правила Кирхгофа

S 4. Эквивалентные контуры

§ 5. Энергия

§ 6. Лестничная сеть

§ 7. Фильтры

§ 8. Другие элементы цепи

Повторить: гл.2 (вып. 2) «Алгебра»; гл. 23 (вып. 2) «Резонанс»;

гл. 25 (вып. 2) «Линейные системы и обзор»

§ 1. Импедансы

В основном наши усилия при чтении этих лекций были направлены на то, чтобы по­лучить полные уравнения Максвелла. В преды­дущих двух главах мы обсудили следствия этих уравнений. Выяснилось, что они содержат объяснение всех статических явлений, которые мы изучали раньше, и явлений электромагнит­ных волн и света — вопроса, подробно изучав­шегося в самом начале нашего курса. Урав­нения Максвелла дают и то и другое, смотря по тому, где эти поля вычисляются: побли­зости от токов и зарядов или же вдали от них. Есть и промежуточная область, но о ней ничего интересного сказать нельзя; там никаких осо­бых явлений не происходит.

Но в электромагнетизме остается еще не­сколько вопросов, которые стоит осветить. Надо будет обсудить вопрос связи относитель­ности и уравнений Максвелла, т. е. выяснить, что произойдет, если на уравнения Максвелла посмотреть из движущейся системы координат. Важен еще и вопрос о сохранении энергии в электромагнитных системах. Кроме того, существует обширная область электромагнит­ных свойств материалов; до сих пор мы рас­сматривали только электромагнитные поля в пустом пространстве, если не считать изучения свойств диэлектриков. Да и при изучении света все еще оставалось несколько вопросов, которые хотелось бы рассмотреть еще раз с точки зре­ния уравнений поля.

В частности, надо бы еще раз вернуться к вопросу о показателе преломления (особенно у плотных веществ). Наконец, интересны яв­ления, связанные с волнами, заключенными внутри ограниченной области пространства. Мы кратко косну­лись этой проблемы, когда изучали звуковые волны. Но урав­нения Максвелла тоже приводят к решениям, которые пред­ставляют волны электрических и магнитных полей, замкнутые в некотором объеме. В одной из последующих глав мы рас­смотрим этот вопрос, имеющий важные технические примене­ния. И чтобы подойти к нему, мы начнем с того, что изложим свойства электрических цепей при низких частотах. После этого мы сможем сравнить такие системы, когда к уравнениям Максвелла применимо почти статическое приближение, и системы, в которых преобладают высокочастотные эффекты.

Итак, снизойдем с величественных и труднодоступных высот последних нескольких глав и обратим свой взор на сравнительно низменную задачу — задачу об электрических цепях. Впрочем, мы убедимся в том, что даже столь мирские дела оказываются весьма запутанными, если в них вникнуть достаточно глубоко.

В гл. 23 и 25 (вып. 2) мы уже обсуждали некоторые свойства электрических цепей (контуров). Теперь мы повторим часть из­ложенного там материала, но более подробно. Мы по-прежнему будем иметь дело с линейными системами и с напряжениями и токами, которые меняются синусоидально; поэтому мы можем представить все напряжения и токи в виде комплексных чисел, пользуясь экспоненциальными обозначениями, введенными в гл. 22 (вып. 2). Так, меняющееся во времени напряжение V(t) будет записываться в виде

(22.1)

где— комплексное число, не зависящее от t. При этом, ко­нечно, подразумевается, что настоящее переменное по времени напряжение V(t) представляется действительной частью комп­лексной функции в правой части уравнения.

Подобным же образом и все другие меняющиеся во времени величины будут считаться изменяющимися синусоидально с той же частотой w. Мы будем писать

(22.2)

и т. д.

Большей частью мы будем писать уравнения, пользуясь обозначениями V, I, e, ...

(вместо...), помня при этом, что они изменяются со временем всегда так, как в (22.2).

В прежних наших рассуждениях об электрических цепях мы полагали, что такие вещи, как индуктивность, емкость и со­противление, вам знакомы. Сейчас мы немного подробнее объясним, что понимают под этими идеализированными эле­ментами схем. Начнем с индуктивности.

Фиг. 22.1. Индуктивность.

Индуктивность — это навитая в несколько рядов проволока в форме катушки, два конца которой выведены к зажимам на некотором расстоянии от катушки (фиг. 22.1). Предположим, что магнитное поле, создаваемое токами в катушке, не очень рас­пространяется на все пространство и не воздействует на другие части цепи. Обычно этого добиваются, придав катушке форму лепешки или намотав ее на подходящий железный сердечник (это сжимает магнитное поле); можно еще поместить катушку внутрь металлической коробочки: схематически это показано на фиг. 22.1. В любом случае предполагается, что во внешней области у зажимов а и b магнитным полем можно пренебречь. Кроме того, мы будем считать, что электрическое сопротивление проводов в катушке можно не учитывать. И наконец, полагают, что можно пренебречь и электрическим зарядом, возникающим на поверхности провода, когда создаются электрические поля.

С учетом всех этих приближений и возникает то, что назы­вают «идеальной» индуктивностью. (Позже мы вернемся к этому пункту и поговорим о том, что бывает в реальных индуктивностях.) Про идеальную индуктивность говорят, что напряжение на ее зажимах равно L(dl/dt). Почему? Когда через индуктив­ность идет ток, то внутри катушки создается магнитное поле, пропорциональное силе тока. Если ток во времени меняется, то меняется и магнитное поле. Вообще говоря, ротор Е равен —dB/dt; можно сказать и по-другому: контурный интеграл от Е по любому замкнутому пути равен (с минусом) быстроте изме­нения потока В через контур. Представьте теперь себе следую­щий путь: начинается он на зажиме а и тянется вдоль катушки (оставаясь все время внутри провода) к зажиму b; затем воз­вращается от зажима b к а по воздуху в пространстве вне ка­тушки. Контурный интеграл от Е по этому замкнутому пути можно записать в виде суммы двух частей:

(22.3)

Как мы уже выяснили раньше, внутри идеального проводника электрических полей существовать не может. (Малейшие поля вызвали бы бесконечно большие токи.) Поэтому интеграл от зажима а до b через катушку равен нулю. Весь вклад в кон­турный интеграл от Е приходится на путь снаружи индуктив­ности, от зажима b к зажиму а. А так как было предположено, что в пространстве вне «коробки» нет никаких магнитных полей, то эта часть интеграла не зависит от выбора пути. Значит, можно определить понятие потенциала обоих зажимов. Разность этих двух потенциалов и есть то, что называют напряжением V, так что

Полный интеграл по контуру — это то, что мы раньше назы­вали э. д. с. e. Он, естественно, равен скорости изменения магнитного поля в катушке. Мы уже знаем, что эта э. д. с. равна (со знаком минус) быстроте изменения тока, так что

где L — индуктивность катушки. Поскольку dI/dt=iwI, то мы имеем

(22.4)

Тот способ, которым мы описали идеальную индуктивность, иллюстрирует общий подход к другим идеальным элементам цепи — обычно их называют «сосредоточенными» элементами. Свойства элемента полностью описываются на языке токов и напряжений, возникающих на его зажимах. Прибегнув к под­ходящим приближениям, можно игнорировать огромную слож­ность тех полей, которые возникают внутри объекта. То, что происходит внутри, отделяется от того, что происходит сна­ружи.

Для всех элементов цепи мы намерены сейчас найти соот­ношения, подобные формуле (22.4). В ней напряжение пропор­ционально силе тока с константой пропорциональности, кото­рая, вообще говоря, есть комплексное число. Этот комплексный коэффициент пропорциональности называется импедансом, и его привыкли обозначать через z (не следует путать с координатой z). В общем случае это функция частоты w. Стало быть, для каж­дого сосредоточенного элемента мы напишем

(22.5)

Для индуктивности мы имеем

(22.6)

Фиг. 22.2. Емкость (или конденсатор).

Рассмотрим с этой точки зрения емкость . Она состоит из двух проводящих пластин (обкладок), от которых к нужным за­жимам отходят два провода. Пластины могут быть любой формы и часто отделяются друг от друга каким-нибудь диэлектриком. Это схематически изображено на фиг. 22.2. Мы снова делаем несколько упрощающих предположений. Мы считаем, что пла­стины и провода — идеальные проводники, а изоляция между пластинами тоже идеальна, так что через нее никакие заряды с пластины на пластину перейти не могут. Затем мы предпола­гаем, что проводники находятся близко друг от друга, но зато аначительно удалены ото всех остальных проводников, так что все линии поля, выйдя из одной пластины, непременно окан­чиваются на другой. И тогда заряды на пластинах всегда равны и противоположны друг другу, причем по величине намного превосходят величину заряда на поверхности проводов. И на­конец, мы считаем, что поблизости от конденсатора магнитных полей нет.